Pascalův trojúhelník

Pascalův trojúhelník je tvořen čísly a platí, že číslo, které se nachází pod nějakými jinými dvěma čísly, se rovná jejich součtu. Pojďme si takový Pascalův trojúhelník sestrojit a následně si ukážeme, k čemu všemu může být dobrý.

Jak sestrojit Pascalův trojúhelník

Po stranách našeho trojúhelníku napíšeme samé jedničky, vnitřek trojúhelníku zatím vyplníme otazníky:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&?&&1&&&&\\ &&&&1&&?&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Nyní dopočítáme první otazník — sečteme dvě čísla nad ním, dostaneme tak 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&\fbox{1}&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&1&&\color{red}{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&?&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Podobně dopočítáme otazníky v další řadě. Nejprve dostaneme 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&\fbox{1}&&\fbox{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&\color{red}{3}&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

A pak dostaneme 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&\fbox{2}&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&1&&3&&\color{red}{3}&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Takto budeme postupovat dále a s každým dalším řádkem získáme další část Pascalova trojúhelníku:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&1&&&&\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\ &&1&&5&&10&&10&&5&&1&\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Pascalův trojúhelník je samozřejmě nekonečný, stále můžeme vytvářet další a další řádky. Vždy ale platí, že na krajích máme jedničky a uvnitř trojúhelníku máme čísla, která vznikla jako součet čísel nad tímto číslem. Pro příklad, číslo 15 v posledním řádku vzniklo jako součet čísel 5 a 10 nad ním.

Základní vlastnosti Pascalova trojúhelníku

První základní vlastnosti už jsme si řekli: po stranách trojúhelníku máme vždy jedničky:

$$\begin{array}{} &&&&&&&\fbox{1}&&&&&&\\ &&&&&&\fbox{1}&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&\fbox{1}&&2&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&\fbox{1}&&3&&3&&\fbox{1}&&&\\ &&&\fbox{1}&&4&&6&&4&&\fbox{1}&&\\ &&\fbox{1}&&5&&10&&10&&5&&\fbox{1}&\\ &\fbox{1}&&6&&15&&20&&15&&6&&\fbox{1}& \end{array}$$

Ve „druhé řadě“ máme vždy všechna přirozená čísla:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&1&&\fbox{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&\fbox{3}&&3&&1&&&\\ &&&1&&\fbox{4}&&6&&4&&1&&\\ &&1&&\fbox{5}&&10&&10&&5&&1&\\ &1&&\fbox{6}&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Všimli jste si mimochodem, že Pascalův trojúhelník je symetrický? Každý řádek je stejný, ať ho čtete zleva doprava, nebo zprava doleva.

Trojúhelníková čísla

Ve třetí řadě pak máme čísla 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&1&&3&&\fbox{3}&&1&&&\\ &&&1&&4&&\fbox{6}&&4&&1&&\\ &&1&&5&&\fbox{10}&&10&&5&&1&\\ &1&&6&&\fbox{15}&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Co je na nich zajímavého? Těmto číslům říkáme trojúhelníková čísla. Představte si, že byste měli několik kruhů a chtěli byste je poskládat do tvaru trojúhelníku. Kolik kruhů byste potřebovali? Podívejte se schválně na následující obrázek:

Vidíme, že pro trojúhelník o hraně 1 potřebujeme právě jeden kruh. Pro hranu o délce dva potřebujeme tři kruhy, pro délku tři potřebujeme šest kruhů a pro délku čtyři potřebujeme deset kruhů. Počet kruhů, které potřebujeme, je vždy nějaké trojúhelníkové číslo, které nalezneme v Pascalově trojúhelníku.

Součet řádků

Co když bychom zkusili sečíst každý řádek v Pascalově trojúhelníku?

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&&=1\\ &&&&&&1&&1&&&&&&=2\\ &&&&&1&&2&&1&&&&&=4\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&&=8\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&&=16\\ &&1&&5&&10&&10&&5&&1&&=32\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1&=64 \end{array}$$

Vidíme, že součet každého řádku je dvakrát větší než součet předchozího řádku. Všechny součty jsou tedy rovny nějaké mocnině čísla dva. Pokud si nejvyšší řádek označíme jako řádek nula, můžeme napsat, že součet n-tého řádku Pascalova trojúhelníku se rovná 2ⁿ.

Prvočísla

Označme si nejvyšší řádek trojúhelníku jako řádek nula. Poté platí, že když si vybereme nějaký n-tý řádek, kde n je prvočíslo, pak všechny čísla tohoto řádku budou dělitelná právě číslem n (kromě jedniček na kraji).

Pro příklad si vezměme třeba n = 5. Číslo pět je prvočíslo. Pátý řádek přitom vypadá takto:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&1&&&&\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\ &&1&&\fbox{5}&&\fbox{10}&&\fbox{10}&&\fbox{5}&&1&\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Každé z těchto vyznačených čísel je dělitelné číslem pět.

Binomická věta

Jistě znáte vzorce pro výpočet (a + b)² nebo (a + b)³:

$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray}$$

Můžeme si všimnou, že koeficienty u jednotlivých výrazů odpovídají číslům v Pascalově trojúhelníku. Podívejme se například na výraz

$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Jako první si k výrazům a³ a b³ dopíšeme násobení jedničkou, aby to bylo zřetelnější:

$$1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3$$

V tuto chvíli vidíme, že koeficienty, kterým násobíme výrazy, jsou stejné, jako druhý řádek Pascalova trojúhelníku:

$$\fbox{1}a^3+\fbox{3}a^2b+\fbox{3}ab^2+\fbox{1}b^3$$

Tomuto fenoménu se ale věnuje samostatný článek o binomické větě.