✖

Jak řešit číselné řady

Číselné řady se používají v nejrůznějších logických testech. Máte zadanou posloupnost nějakých čísel a vaším úkolem je doplnit za řadu číslo, které by mělo logicky následovat. V tomto článku si ukážeme, jak takové číselné řady řešit.

Zadání

Klasické zadání úlohy na číselné řady vypadá takto:

$$2, 4, 6, 8, 10, ?$$

Vaším úkolem je nalézt číslo, které lze dosadit za otazník tak, aby to dávalo největší smysl. Musíte tak nalézt nějakou charakteristickou vlastnost mezi zadanými čísly a pomocí ni vypočítat chybějící číslo. V tomto případě bude výsledkem číslo 12, protože každé číslo v řadě je vždy o 2 větší než předchozí.

Řešení nemusí být vždy jednoznačné. Lze říci, že za otazník můžeme dosadit libovolné číslo, pokud si tuto volbu dokážeme obhájit.

Přičítání a násobení

Mezi nejjednodušší řady patří ty, kde se jen přičítá nějaké číslo. Příklady:

$$3, 10, 17, 24, ?$$

Zde se přičítá vždy 7, takže na místě otazníku bude 31. Další příklad:

$$-8, -5, -2, 1, ?$$

Přičítáme vždy 3, další číslo v řadě bude 4. Další příklad:

$$17, 8, -1, -10, ?$$

V této řadě přičítáme −9, neboli odečítáme 9. Další v řadě bude −19. Další příklad:

$$2, 4, 8, 16, ?$$

Tady už nesčítáme, ale násobíme. Číslo je vždy dvakrát větší než předchozí, takže výsledkem bude 32. Další příklad:

$$27, 9, 3, 1, ?$$

V této řadě naopak dělíme, trojkou. Výsledkem bude $\frac13$. Přičítat můžeme i nekonstantní číslo:

$$2, 4, 7, 9, 12, ?$$

Střídáme přičítání +2 a +3. Tedy k 2 přičteme +2, dostaneme 4. Pak přičteme +3 a máme 7. Atd. K 12 přičteme 2 a máme 14. Další příklad:

$$5, 6, 8, 11, 15, 20, ?$$

V této řadě přičítáme vždy o jedna vyšší číslo než v předchozím kroku, přičemž začínáme od +1. Tedy 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 atd. Nakonec přičítáme 6, takže výsledkem je 20 + 6 = 26. Další příklad:

$$1, 2, 6, 12, 36, 72, ?$$

Střídáme násobení dvěma a třemi. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 atd. Nakonec násobíme třemi, takže výsledek je 216.

Střídání řad

Řady a operace můžeme dále kombinovat. Můžeme tak jednou použít sčítání a podruhé násobení:

$$3, 12, 14, 56, 58, 174, ?$$

Zde nejprve násobíme čtyřmi a v dalším kroku přičítáme dva. Tedy: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56, atd. Nakonec přičítáme dva, takže výsledek je 176. Podobný příklad:

$$3, 9, 5, 15, 11, 33, 29, ?$$

Nejprve násobíme třemi, následně odečítáme čtyři. Takže: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 atd. Nakonec násobíme třemi, výsledek je 87.

Řady můžeme zkombinovat tak, že v jedné řadě budou vlastně dvě, které mají vlastní charakteristickou vlastnost. Příklad:

$$2, 1, 4, 6, 8, 11, 16, 16, 32, ?$$

Na lichých pozicích máme známou řadu 2, 4, 8, 16, 32, tedy číslo je vždy dvojnásobkem předchozího čísla, a na sudých pozicích máme posloupnost 1, 6, 11, 16, ?. Je to řada, kde se vždy jen přičítá pětka. Výsledkem tak je číslo 16 + 5 = 21. Ještě jeden příklad:

$$2, 7, 3, 11, 5, 15, 8, 19, 12, ?$$

V této řadě můžeme najít dvě podřady. Na lichých pozicích máme 2, 3, 5, 8, 12, což je řada, kde vždy přičítáme o jedna větší číslo než v předchozím kroku. A na sudých máme: 7, 11, 15, 19, ?. Tedy jen přičítáme čtyřku. Výsledkem je 23.

Klasické řady

Existují některé klasické řady, které stojí za to zmínit. Začneme:

  • 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — posloupnost druhých mocnin přirozených čísel. Jinak zapsáno: 12, 22, 32, 42, 52, … Pokud v posloupnosti uvidíte některé z těchto čísel, obzvláště z těch větších, je slušná šance, že v tom hraje roli právě druhá mocnina.

  • 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — toto je známá Fibonacciho posloupnost. Každé číslo je definováno jako součet dvou předchozích čísel. Tedy odzadu: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 atd. První dvě čísla, nula a jednička, jsou pevně dány.

  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — posloupnost prvočísel. Snad jen pozor na to, že mezi prvočísla nepatří jednička.

  • 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — posloupnost faktoriálů. Číslo na n-té pozici je dáno součinem 1 · 2 · 3 · … · n. Například na čtvrté pozici je číslo 24, což je 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Další typy řad

Příklad:

$$17, 3, 6, 14, -3, 23, 19, ?$$

Řešením je, že pokud sečteme čísla na prvním a druhém místě, dostaneme číslo dvacet: 17 + 3 = 20. Stejně pro následující dvojice: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Na místě otazníku tak má být jednička. Další příklad:

$$?, 7, 12, 4, 5, 9, 6, -1, 5$$

V této posloupnosti rozdělíme čísla do trojic a, b, c, přičemž platí a + b = c. Takže ?+7 = 12 a 4 + 5 = 9. Místo otazníku tak patří 5. Další příklad:

$$2, 4, 10, 28, ?$$

Zde jsme spojili dvě operace: násobení a sčítání. Další číslo získáme tak, že předchozí vynásobíme třemi a ještě odečteme dva. Takže máme: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Další v řadě je 28 · 3 − 2 = 82.

Hledáme programátory!