Geometrický průměr

Představte si, že si chcete koupit nové auto, takový Ford Mustang. Dlouho po něm pokukujete a každý rok si zapíšete, o kolik se zdražil oproti předchozímu roku. Zatímco první rok stálo auto jeden milion korun, tak hned druhý rok zdražil o 25 %, další rok zdražil o 5 %, čtvrtý rok zdražil o 10 % a teď, pátým rok, zdražil o 20 %. Můžeme si spočítat, kolik stojí auto v současnosti, tak, že procenta převedeme na násobky ceny, tj. „zdražení o 25 %“ zapíšeme jako „původní cena krát 1,25“. Aktuální cena Ford Mustang tedy je

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2=1\ 732\ 500$$

Cena Mustangu po pěti letech je 1 732 500. A teď bychom se mohli zeptat jaké bylo průměrné roční zdražení auta? První rok se auto zdražilo 1,25krát, druhý rok 1,05krát atd. Jaké bylo průměrné zdražení? Pokud bychom použili běžný aritmetický, tak nám vyjde nesmysl. Aritmetický průměr hodnot 1,25, 1,05, 1,1 a 1,2 by nám vyšel

$$\frac{1{,}25+1{,}05+1{,}1+1{,}2}{4}=\frac{4{,}6}{4}=1{,}15$$

Schválně si teď zkusme vypočítat cenu auta, pokud by se čtyři roky po sobě zvedla jeho cena 1,15krát:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}15\cdot1{,}15\cdot1{,}15\cdot1{,}15=1\ 749\ 006{,}25$$

Vyšlo nám jiné číslo! To znamená, že 1,15 (tedy 15 %) není správná odpověď, toto není správné průměrné roční zdražení. Aritmetický průměr nám tedy tuto otázku zodpovědět nedokáže. Musíme použít geometrický průměr.

Jak spočítat geometrický průměr

O kolik procent se auto za těch pět let zdražilo? Vypočítáme to tak, že vynásobíme všechny násobky zdražení:

$$1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2=1{,}7325$$

Ford Mustang se tedy zdražil po čtyřech letech 1,7325krát. A nyní se vlastně ptáme: jaké číslo, když ho vynásobíme čtyřikrát, nám dává 1,7325? Je to čtvrtá odmocnina z čísla 1,7325. Zkusme si to:

$$\sqrt[4]{1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2}=\sqrt[4]{1{,}7325}\approx1{,}147277$$

Zkusme nyní vynásobit cenu auta čtyřikrát tímto číslem:

$$1\ 000\ 000\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}=1\ 732\ 500$$

Teď už to sedí, číslo $\sqrt[4]{1,7325}$ je tak správné průměrné roční zdražení auta.

Vzorec pro geometrický průměr

Máme-li n čísel x₁, x₂, …, x_n, tak geometrický průměr G vypočteme jako

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}$$

Případně to můžeme ekvivalentně zapsat takto:

$$G=\sqrt[n]{\Pi_{i=1}^n x_i}$$

Pro příklad, geometrický průměr čísel 1, 2, 3, 4, 5 bychom vypočítali jako

$$\sqrt[5]{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=\sqrt[5]{120}\approx2{,}6$$