Harmonický průměr

Harmonický průměr je jeden z druhů průměrů, které používáme typicky v případě, kdy pracujeme s nějakými poměry.

Průměrná rychlost

Pro příklad, představme si, že jsme jeli vlakem na výlet, přitom průměrný rychlost vlaku byla 120 km/h. Na cestě zpátky jsme jeli zase vlakem, stejnou trasou, ale tentokrát se vlak loudal a jel jen 40 km/h. Jaká byla průměrná rychlost vlaku za celou cestu tam i zpět dohromady? Je poměrně lákavé spočítat průměrnou rychlost pomocí aritmetického průměru takto

$$\large \frac{120\ \mbox{km}/\mbox{h}+40\ \mbox{km}/\mbox{h}}{2}=80\ \mbox{km}/\mbox{h}$$

a říci, že průměrná rychlost byla 80 km/h. Jenomže to není pravda. Můžeme si to snadno ukázat: dejme tomu že vlak jel na cestě tam jednu hodinu. Protože jel průměrnou rychlostí 120 km/h, tak to znamená, že ujel za tu hodinu právě 120 km. Pokud na cestě zpět, jel průměrnou rychlostí 40 km/h, musel ujet 120 km za 3 hodiny. Celkem tedy vlak ujel 240 km za 4 hodiny. Z toho můžeme vypočítat průměrnou rychlost

$$\large \frac{240\ \mbox{km}/\mbox{h}}{4}=60\ \mbox{km}/\mbox{h}$$

Aritmetický průměr nás tedy zklamal. Jakým způsobem bychom museli spočítat průměr dvou rychlostí 120 a 40 tak, aby nám vyšel správný výsledek?

Harmonický průměr

Namísto aritmetického průměru můžeme použít průměr harmonický. Ten spočítáme tak, že sestrojíme zlomek, kde v čitateli bude počet prvků, ze kterých počítáme průměr — v našem případě 2, protože máme dvě rychlosti:

$$\large\frac{2}{?}$$

A do jmenovatele dáme součet převrácených hodnot obou rychlostí. Máme-li rychlost 120, pak jeho převrácená hodnota je 120⁻¹, což je $\frac{1}{120}$. Dostaneme zlomek

$$\large\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Zlomky ve jmenovateli rozšíříme na společného jmenovatele:

$$\large\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

A teď můžeme zlomky snadno sečíst:

$$\large\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Tenhle zlomek vypadá zvláštně, ale dopadne to dobře, nebojte se. Zlomek upravíme do podoby součinu takto:

$$\large\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot\frac{120}{4}$$

Pokud vás tahle úprava zmátla, tak si uvědomte, že když dělíme jednou polovinou, tak je to totéž, jako když násobíme dvěma. Tedy když jsme dvojku dělili zlomkem $\frac{4}{120}$, je to totéž, jako dvojku násobit převráceným zlomkem $\frac{120}{4}$. Teď už jen lehce zlomek upravíme a dostaneme náš výsledek:

$$2\cdot\frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Harmonický průměr nám vyšel 60, což je správný výsledek.

Obecný vzorec pro harmonický průměr

Mějme n čísel x₁, x₂, …, x_n. Pak jejich harmonický průměr H spočítáme jako

$$\large H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}$$

Máte-li rádi zápis pomocí sum, můžeme harmonický průměr zapsat i takto:

$$\large H=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Pro příklad, harmonický průměr čtyř hodnot 1, 2, 3, 4 je

$$\begin{eqnarray} H &=& \frac{4}{\frac11+\frac12+\frac13+\frac14}\\ &=& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ &=& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ &=& 4\cdot\frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1{,}92\\ \end{eqnarray}$$