Odmocniny

Odmocnina je částečná inverzní funkce k mocnině. Nejčastěji pracujeme s druhou odmocninou, která hledá takové číslo, které když vynásobíme se sebou samým, tak získáme původní číslo, které jsme odmocnili.

Druhá odmocnina

Pro odmocninu se používá znak $\sqrt{}$, přičemž abychom nemuseli psát argument odmocniny do závorek nějak takto: $\sqrt{}$(25), tak se nad celým argumentem (výrazem, který chceme odmocnit) udělá vodorovná čára, takto: $\sqrt{25}$.

Na začátku se budeme zabývat pouze druhou odmocninou z reálného čísla. Tu bychom nadefinovali takto:

$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$$

Pokud vynásobíte odmocninu čísla a s odmocninou čísla a, pak dostanete číslo a. Takže pro číslo 9 by odmocnina byla rovná 3, protože platí 3 · 3 = 9.

Předchozí výraz můžeme také napsat takto:

$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$

Je to jen jiný zápis předchozího násobení, a sice pomocí mocniny.

Podstatným faktem je, že tato rovnice platí jen pro ta x, která jsou z definičního oboru odmocniny. Platí totiž, že nemůžeme odmocnit záporné číslo. Můžeme odmocnit jakékoliv kladné číslo, můžeme odmocnit nulu, ale neumíme odmocnit záporné číslo? Proč to nejde?

Předpokládejme, že chceme vypočítat odmocninu z −25. Máme v zásadě dvě možnosti, jaké číslo zvolit. Buď kladné, nebo záporné. Pokud zvolíme kladné, máme 5 · 5 = 25. Sice jsme dostali 25, ale my chceme −25. Zkusíme tak zvolit −5; jenže po vynásobení máme opět 25. Zkrátka pokud vynásobíte dvě záporná čísla, získáte číslo kladné. Stejně tak, když násobíte dvě kladná čísla. Museli byste násobit −5 · 5, abyste získali −25 a to nejde, násobíte dvě různá čísla, byť se liší jen ve znaménku. Proto nelze vypočítat odmocninu ze záporného čísla.

Vícenásobná odmocnina

Podobně jako můžeme umocnit výraz na druhou, na třetí, na čtvrtou, můžeme mít i třetí a čtvrtou a nakonec n-tou odmocninu z reálného čísla. Zapisuje se to obvykle nad zobáček, takto:

$$\sqrt[5]{32}$$

Tento zápis značí pátou odmocninu z čísla třicet dva. n-tou odmocninu nadefinujeme pomocí n-té mocniny takto:

$$\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a;\qquad n\in\mathbb{N}, a,b\ge0$$

Pokud za n dosadíme dva, získáváme druhou odmocninu tak, jak jsme si ji definovali před chvílí. Zkráceně bychom to mohli definovat i takto:

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$$

Platí konvence, že pro druhou odmocninu tam nemusíme psát dvojku, tedy tyto zápisy jsou ekvivalentní:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Takže například pro čtvrtou odmocninu by platilo:

$$\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}=a$$

A nějaký konkrétní příklad:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

A naopak platí 4 · 4 · 4 = 64.

Odmocnina ze záporného čísla

Už víme, že neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla, protože a², kde a je reálné číslo, nikdy nebude záporné. Nicméně u vícenásobných odmocnin už nenásobíme pouze dvakrát, takže mohou nastat případy, kdy n-tá odmocnina ze záporného čísla existuje. Jak to tedy je?

Vadilo nám, že když dvakrát vynásobíme záporné číslo, získáme číslo kladné. Pro výsledek −25 jsme potřebovali součin −5 · 5. Jenže co se stane, když násobíme tři záporná čísla? Po vynásobení prvních dvou záporných čísel máme kladné číslo. Ale po vynásobení posledním záporným číslem máme zpět záporné číslo. Pokud bychom násobili ještě jednou (celkem čtyřikrát), jsme zpět v kladných číslech.

Poučení je z toho takové, že pokud n-krát násobíme záporné číslo, tak když je n sudé, je výsledný součin kladný, když je liché, je součin záporný. Z toho vyvodíme, že existuje n-tá odmocnina ze záporného čísla, když je n liché. Příklad:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Převod na mocninu

Odmocniny můžeme snadno převézt na mocniny a často se to také dělá, protože se s odmocninami pak lépe pracuje. Platí následující vztah:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Pokud máme n-tou odmocninu z a, je to stejné, jako kdybychom a umocnili na 1/n. toto se vám může hodit také ve chvíli, kdy potřebujete někam zadat nějakou vyšší odmocninu než druhou. Často to přímo nejde, ale lze do exponentu zadat zlomek. Chcete-li si nechat vykreslit graf čtvrté odmocniny, nechte si vykreslit graf funkce

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Nejčastěji se používá převod druhé mocniny:

$$\sqrt{x}=x^{\frac12}$$

Vzorce pro odmocniny

Protože lze odmocninu snadno převézt na mocninu, dědí výrazy s odmocninou vzorce pro obecné mocniny. Takže platí následující vztahy:

$$\Large \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

$$\Large \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\qquad a,b\ge0$$

$$\Large \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\Large \sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}\qquad a>0$$

Zároveň platí tyto základní vztahy:

$$\Large \sqrt[n]{0}=0$$

$$\Large \sqrt[n]{1}=1$$

$$\Large \sqrt[1]{a}=a$$

Částečné odmocnění

Částečné odmocnění je technika, která se používá ke zjednodušování odmocnin a využívá jeden z předcházejících vzorců:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

Některé výrazy pod odmocninou totiž můžeme rozložit na součin, následně rozepsat do dvou odmocnin a nakonec jednu z těch odmocnin odmocnit. Typický příklad může být tento:

$$\sqrt{4x}$$

Tento výraz můžeme podle předchozího vzorce přepsat takto:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x}=$$

A nyní můžeme odmocnit čtyřku:

$$=2\cdot\sqrt{x}$$

Podobně můžeme přepsat i obyčejné číslo, pokud chceme zachovat přesnou formu. Takže příklad:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Kalkulačka

Pokud potřebujete vypočítat nějakou odmocninu, můžete použít zdejší kalkulačku odmocnin 🧮.