Odkud se vzalo Eulerovo číslo

Eulerovo číslo je jednou z nejznámější matematických konstant spolu třeba s číslem Pí — π. Povíme si, jak jsme na toto číslo přišli a co znamená.

V sedmnáctém století se francouzský matematik Jacob Bernoulli zajímal o složený úrok. Představme si, že máme jednu korunu, kterou dáme do banky, která nám nabízí 100% roční úrok. Je to sice od banky čiré šílenství, ale co by neudělala pro dobro matematiky. Kolik peněz budeme mít na účtě přesně po roce? No budeme mít koruny dvě.

Jak by se situace změnila, kdyby nám banka nabídla 50% úrok, který by se úročil co půl roku? Bylo by to pro nás více výhodnější, nebo méně?

Po prvním půl roku bychom měli o polovinu více. „O polovinu více“ zapíšeme v matematice jako $x \cdot (1+\frac12)$. Za x dosadíme náš vklad, tedy jednu korunu, a vypočítáme

$$1\cdot \left(1+\frac12\right)=1,5$$

Po půl roce máme na účtě 1,5 korun. Po druhém půl roku bychom měli zase o další polovinu více. Použijeme stejný vzorec, jen za x dosadíme náš nový zůstatek, tj. 1, 5:

$$1,5\cdot \left(1+\frac12\right)=2,25$$

Po roce tak máme na účtě 2,25 korun. Častější úročení nižším úrokem je tedy pro nás výhodné.

Úročení každý měsíc

Co kdyby nám banka nabízela úročení každý měsíc, ale úrok by klesl na jednu dvanáctinu původního úroku? Uf, to už se trochu napočítáme. Jaký zůstatek budeme mít po prvním měsíci? Budeme mít „o jednu dvanáctinu více“, což zapíšeme jako $x \cdot (1+\frac{1}{12})$. Po prvním měsíci tak budeme mít:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1,0833333\dots$$

Po druhém měsíci budeme mít

$$1,0833333\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1,17361111\dots$$

Všimněte si ale, že namísto čísla 1,0833333 můžeme použít zápis $1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)$, protože víme, že se tato čísla rovnají:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1,17361111\dots$$

Po třetím měsíci budeme mít na účtě:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1,27141203$$

Jak vidíte, náš výpočet sleduje jistý vzor. Výraz v závorce se v něm opakuje tolikrát, kolikátý měsíc zrovna počítáme. Předchozí výraz můžeme zjednodušit tak, že namísto třech stejných závorek napíšeme jednu a umocníme ji na třetí:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)^3=1,27141203$$

A to násobení jedničkou na začátku je tam také zbytečné, takže to odstraníme:

$$\left(1+\frac{1}{12}\right)^3=1,27141203$$

Chceme-li nyní vypočítat zůstatek po dvanácti měsících, jen v exponentu namísto trojky použijeme číslo 12:

$$\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}=2,6130352$$

Po dvanácti měsících máme na účtě přibližně 2,6130352 korun. To není špatné! A je to mnohem lepší, než když jsme měli roční 100% úrok.

Kontinuální úrok

Nemusíme se zastavovat u měsíců. Kolik bychom měli, kdybychom úročili každý týden úrokem o velikosti $\frac{1}{52}$ původního úroku? Protože už známe vzorec, tak jen dosadíme:

$$\left(1+\frac{1}{52}\right)^{52}=2,6925969$$

Denní úrok?

$$\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}=2,7145674$$

Hodinový úrok? (Rok má 8760 hodin)

$$\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}=2,718126$$

Vidíme, že vždy když vezmeme nižší úrok a úročíme jím častěji, máme na konci o trochu více peněz na kontě. Ale přírůstky už nějsou tak velké. Takhle bychom mohli pokračovat do nekonečna. No, to vlastně není špatný nápad — mohli bychom úročit každou minutu, každou sekundu, každou milisekundu, každou nanosekundu… až bychom se dostali do stavu, že úročíme neustále. Měli bychom kontinuální maličký úrok, kterým bychom úročili zůstatek každý okamžik. Kolik bychom v takovém případě měli po roce na účtě peněz?

Zpátky k Eulerovu číslu

A to je otázka, kterou se Jacob Bernoulli snažil vypočítat. K jeho smůle to ale nedokázal a dokázal to až v 18. století věhlasný matematik Leonhard Euler. Ten spočítal, že po roce bychom měli na účtě

$$2,71828182845904523536028747135\dots$$

korun. Vidíte, že už to není o moc víc, než když jsme úrok připisovali každou hodinu. A protože se ukázalo, že tento zůstatek, toto číslo, je velice důležité v různých částech matematiky, nazývá se dodnes Eulerovo číslo a značíme ho písmenem e. Eulerovo číslo je iracionální číslo, tedy číslo, které má nekonečný desetinný rozvoj. Podobně jako třeba číslo π. Nikdy jej tedy neuvidíte celé. Přesto si ale můžeme Eulerovo číslo přesně definovat pomocí limity funkce:

$$e=\lim_{n\to\infty} \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Zdroje