Vzájemná poloha přímek
U dvou přímek v rovině můžeme rozlišovat celkem čtyři různé stavy. Přímky mohou být rovnoběžné, různoběžné, kolmé nebo shodné.
Určení vzájemné polohy z rovnic
Pokud máme dvě přímky a jejich dvě rovnice, jednoduše vyřešíme soustavu těchto dvou rovnic. Mohou nastat celkem tři případy:
- Soustava nemá žádné řešení — přímky nemají žádný společný bod a tak jsou rovnoběžné.
- Soustava má právě jedno řešení — přímky mají právě jeden společný bod/průsečík a přímky jsou tak různoběžné.
- Soustava má nekonečně mnoho řešení — přímky mají nekonečně mnoho společných bodů, přímky jsou tak shodné.
Všimněte si, že touto cestou nezjistíme, jestli jsou přímky na sebe kolmé.
Na obrázku vidíme rovnoběžné přímky a, b, různoběžné přímy c, d, které se protínají v jednom bodě a shodné přímky e, f.
Následují příklady:
-
Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p a q, které jsou dané rovnicemi p: −x + 3y − 5 = 0 a q: 2x + 3y − 17 = 0. Z obou rovnic vytvoříme systém lineárních rovnic a tento sytém vyřešíme:
\begin{eqnarray} -x+3y-5&=&0\\ 2x+3y-17&=&0 \end{eqnarray}
První rovnici vynásobíme dvěma:
\begin{eqnarray} -2x+6y-10&=&0\\ 2x+3y-17&=&0 \end{eqnarray}
A rovnice sečteme:
$$ -2x+6y-10+(2x+3y-17) = 0 $$
Další úpravy jsou snadné:
\begin{eqnarray} -2x+6y-10+(2x+3y-17) &=& 0\\ 6y+3y-10-17 &=& 0\\ 9y -27 &=& 0\\ y - 3 &=& 0\\ y=3 \end{eqnarray}
Jetě dopočítáme x, například dosazením hodnoty y = 3 do rovnice −x + 3y − 5 = 0:
\begin{eqnarray} -x+3y-5&=&0\\ -x+3\cdot3-5&=&0\\ -x+4&=&0\\ x&=&4 \end{eqnarray}
Vyšlo nám jediné řešení soustavy rovnic, x = 4, y = 3. Znamená to, že přímky jsou různoběžné a protínají se v bodě X[4,3]. Obrázek:
-
Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p a q dané rovnicí p: 2x + y − 8 = 0 a parametrickým vyjádřením přímky q:
\begin{eqnarray} x &=&\color{red}{5 - t}\\ y &=&\color{blue}{2 + 2t} \end{eqnarray}
V tomto případě máme jednu obecnou rovnici přímky a jednu parametrickou. Tento případ vyřešíme tak, že do obecné rovnice dosadíme za x a y hodnoty z parametrického vyjádření. Tj. za x v obecné rovnici dosadíme pravou stranu parametrického vyjádření, totéž u y. Dostaneme jednu rovnici:
\begin{eqnarray} 2\color{red}{x} + \color{blue}{y} - 8 &=& 0\\ 2\cdot(\color{red}{5-t})+(\color{blue}{2+2t})-8 &=& 0 \end{eqnarray}
A dále rovnici upravíme už standardně:
\begin{eqnarray} 2\cdot(5-t)+(2+2t)-8 &=& 0\\ 10-2t+2+2t-8&=&0\\ 12-8+2t-2t&=&0\\ 4&=&0 \end{eqnarray}
Rovnice nemá žádné řešení, přímky se tak neprotínají ani v jednom bodě. Přímky p a q tak jsou rovnoběžné. Obrázek:
-
Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p a q dané rovnicemi p: 3x + y − 10 = 0 a q: −9x −3y + 30 = 0. Na první pohled je vidět, že druhá rovnice je −3 násobkem první rovnice, takže by přímky měly být shodné. Ale spočítejme si to. Vytvoříme soustavu rovnic:
\begin{eqnarray} 3x + y - 10 &=& 0\\ -9x -3y + 30 &=& 0 \end{eqnarray}
První rovnici vynásobíme 3:
\begin{eqnarray} 9x + 3y - 30 &=& 0\\ -9x -3y + 30 &=& 0 \end{eqnarray}
A rovnice sečteme:
\begin{eqnarray} 9x + 3y - 30 + (-9x -3y + 30) &=& 0\\ 9x - 9x +3y - 3y +30 -30 &=& 0\\ 0&=&0 \end{eqnarray}
Soustava má nekonečně mnoho řešení, přímky mají nekonečně mnoho společných bodů a jsou tak shodné. Obrázek:
Určení vzájemné polohy ze směrového a normálového vektoru
Pokud známe směrový vektor nebo normálový vektor, pak můžeme určit vzájemnou polohu přímek. Přitom platí:
- Pokud jsou směrové vektory kolineární (lineárně závislé), pak jsou přímky rovnoběžné nebo shodné.
- Pokud nejsou směrové vektory kolineární (lineárně závislé), pak jsou přímky různoběžné.
- Pokud je skalární součin směrových vektorů nulový, pak jsou přímky na sebe kolmé.
Předchozí body platí stejně tak pro normálové vektory. Tj. pokud jsou normálové vektory kolineární, pak jsou přímky rovnoběžné nebo shodné atd.
Zkusíme si předchozí tři příklady v minulé kapitole spočítat pomocí směrových a normálových vektorů.
-
Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p a q, které jsou dané rovnicemi p: −x + 3y − 5 = 0 a q: 2x + 3y − 17 = 0. Normálový vektor přímky p má tvar $\vec{\mathbf{u}}=(-1,3)$, normálový vektor přímky q má tvar $\vec{\mathbf{v}}=(2,3)$. Platí, že vektory nejsou kolineární, protože vektory $\vec{\mathbf{u}}, \vec{\mathbf{v}}$ nejsou lineárně závislé. Neexistuje žádné a ∈ ℝ takové, že $a\cdot\vec{\mathbf{u}}=\vec{\mathbf{v}}$. Z toho vyplývá, že vektory jsou různoběžné.
Vypočítáme ještě skalární součin, abychom ověřili, jestli jsou přímky na sebe kolmé. Skalární součin normálových vektorů je
$$ \vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}} = (u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2) = -2+9=7 $$
Skalární součin je nenulový, takže přímky na sebe nejsou kolmé.
-
Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p a q dané rovnicí p: 2x + y − 8 = 0 a parametrickým vyjádřením přímky q:
\begin{eqnarray} x &=&5 - t\\ y &=&2 + 2t \end{eqnarray}
Z parametrického vyjádření můžeme hned vyčíst směrový vektor přímky q. Ten je shodný s koeficienty u parametru t, takže směrový vektor přímky q má tvar $\vec{\mathbf{v}}=(-1,2)$. Z obecné rovnice přímky p můžeme zase hned vyčíst normálový vektor, který má tvar $\vec{\mathbf{n}}=(2, 1)$ (hodnoty koeficientů před x a y). Z normálového vektoru získáme směrový vektor $\vec{\mathbf{u}}=(1, -2)$.
(Jen jsme prohodili čísla a jednu ze souřadnic jsme vynásobili −1. Pro vektory (2,1) a (1,−2) platí, že jejich skalární součin je roven nule, proto pokud je (2,1) je normálový vektor, pak (1,−2) je směrový vektor.)
Vidíme, že směrový vektor přímky p je −1 násobkem směrového vektoru přímky q, platí, že $-1\cdot \vec{\mathbf{v}} = \vec{\mathbf{u}}$. Přímky tak mají směrové vektory, které jsou kolineární, což znamená, že jsou rovnoběžné. Proto jsou rovnoběžné i přímky p a q.
Nyní bychom měli zjistit, jestli jsou přímky rovnoběžné nebo shodné. Stačí vzít jakýkoliv bod A, který leží na přímce p a dosadit ho do rovnice, která popisuje přímku q. Pokud rovnice dává smysl, jsou přímky shodné. V opačném případě jsou jen rovnoběžné.
Vezmeme si parametrické vyjádření přímky q a za parametr t dosadíme nulu. Získáme:
\begin{eqnarray} x &=&5 - 0=5\\ y &=&2 + 2\cdot0=2 \end{eqnarray}
Získali jsme bod A[5,2], který jistě leží na přímce q. Tyto souřadnice dosadíme do obecné rovnice p: 2x + y − 8 = 0:
\begin{eqnarray} 2x + y - 8 &=& 0\\ 2\cdot5+2-8 &=& 0\\ 12-8&=&0\\ -4&=&0 \end{eqnarray}
Tento bod není platným řešením rovnice, takže bod A[5,2] neleží na přímce p a přímky tak nejsou shodné.
-
Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p a q, které jsou dány rovnicemi: p: −x + 3y − 6 = 0 a q: 3x + y − 14 = 0. Tento příklad se liší od třetího příkladu předchozí kapitoly. Z obou rovnic můžeme vyčíst normálové vektory obou přímek. Normálové vektory mají tvar $\vec{\mathbf{n}}_p = (-1, 3)$ a $\vec{\mathbf{n}}_q=(3,1)$. Normálové vektor nejsou lineárně závislé/kolineární, neexistuje žádné reálné a takové, že $a\cdot \vec{\mathbf{n}}_p = \vec{\mathbf{n}}_q$.
Nyní ještě zjistíme, jestli jsou přímky kolmé. Vypočítáme skalární součin:
$$ \vec{\mathbf{n}}_p\cdot \vec{\mathbf{n}}_q = (-1{,}3)\cdot(3{,}1)=-3+3=0 $$
Skalární součin vyšel nulový, vektory jsou na sebe kolmé. Proto platí, že i samotné přímky jsou na sebe kolmé. Obrázek:
Pokud bychom chtěli zjistit průsečík obou přímek, musíme ho spočítat z rovnic. Sestavíme z obecných rovnic soustavu rovnic:
\begin{eqnarray} -x + 3y - 6 &=& 0\\ 3x + y - 14 &=& 0 \end{eqnarray}
První rovnici vynásobíme −3:
\begin{eqnarray} -3x + 9y - 18 &=& 0\\ 3x + y - 14 &=& 0 \end{eqnarray}
Rovnice nyní sečteme a dále upravíme:
\begin{eqnarray} -3x + 9y - 18 + (3x + y - 14) &=& 0\\ 9y+y-18-14 &=&0\\ 10y-32 &=& 0\\ y = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \end{eqnarray}
x-ovou souřadnici vypočítáme dosazením do nějaké rovnice, například do −x + 3y − 6 = 0:
\begin{eqnarray} -x + 3y - 6 &=& 0\\ -x + 3\cdot \frac{16}{5} - 6 &=& 0\\ -x + \frac{48}{5}-\frac{30}{5} &=&0\\ -x + \frac{18}{5} &=& 0\\ x &=& \frac{18}{5} \end{eqnarray}
Vychází nám souřadnice průsečíku obou přímek $P[\frac{18}{5}, \frac{16}{5}]$.