Ekvivalentní úpravy rovnic

Při úpravách rovnic používáme ekvivalentní úpravy, které se vyznačují tím, že nezmění platnost rovnice. Smyslem ekvivalentních úprav je dostat rovnici do nějakého jednoduššího tvaru, ze kterého už můžeme vypočítat výsledek rovnice.

Co je to rovnice

Nejprve stručně o tom, co je to rovnice a jak ji budeme zapisovat. Pokud máme dvě funkce f(x) a g(x), pak je můžeme položit do rovnosti a získat rovnici:

$$f(x)=g(x)$$

V tomto případě nazýváme f(x) levou stranou rovnice a g(x) pravou stranu. Za abstraktní funkce f(x) a g(x) si můžeme představit konkrétní funkce, například f(x) = 3x a g(x) = x + 2. Pak by rovnice vypadala takto:

$$3x=x+2$$

Řešením rovnice je pak množina (například) S, kde pro každé x z množiny S platí, po dosazení do rovnice daná rovnice stále platí. Takže řešením ukázkové rovnice by byla množina

$$S=\left\{1\right\}.$$

Po dosazení do rovnice získáváme

$$3\cdot1=1+2$$

Ekvivalentní úprava rovnice je pak taková úprava, která nezmění platnost rovnice. Tedy ekvivalentní úpravou by byla úprava, kdy bychom z funkce f(x) získali funkci f₁(x) a stejnou úpravou bychom z funkce g(x) získali g₁(x) a přesto by stále platila rovnost

$$f_1(x)=g_1(x).$$

První a nejjednodušší ekvivalentní úprava rovnic (ne nerovnic!) je prohození levé a pravé strany. Asi je zřejmé, že pokud platí

$$f(x)=g(x),$$

tak bude platit i jejich prohození

$$g(x)=f(x).$$

Více se o rovnicích věnuji v článku Co je to rovnice.

Přičítání

Nejjednodušším příkladem je přičítání nějakého výrazu k oběma stranám rovnice. Ekvivalentní úpravu vždy aplikujeme na obě strany rovnice. Takže mějme tuto rovnici:

$$x-3=1.$$

Tuto rovnici můžeme vyřešit tak, že k oběma stranám přičteme číslo tři. Při úpravách rovnic obvykle danou úpravu zapisujeme za lomítko v řádku, kde jsme s úpravou začali, takto

$$\begin{eqnarray} x-3&=&1\quad /+3\\ 3+x-3&=&1+3\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$

Obecně můžeme zapsat, že máme-li opět dvě funkce f(x) a g(x), můžeme k nim přičíst třetí funkci h(x) a nezměníme platnost rovnice.

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&g(x)\quad/+h(x)\\ f(x)+h(x)&=&g(x)+h(x) \end{eqnarray}$$

Jak je vidět, nemusíme přičítat pouze číslo, můžeme přičítat i funkci:

$$x=2x+6$$

Dle zvyku chceme mít proměnné nalevo, čehož dosáhneme tak, že k rovnici přičteme −2x, respektive odečteme 2x.

$$\begin{eqnarray} x&=&2x+6\quad/-2x\\ x-2x&=&2x-2x+6\\ -x&=&6\\ x&=&-6 \end{eqnarray}$$

Přičítat můžeme samozřejmě i zlomky, pokud se vám to hodí.

$$x-\frac12=471$$

Přičteme jednu polovinu a máme výsledek:

$$\begin{eqnarray} x-\frac12&=&471\quad/+\frac12\\ x-\frac12+\frac12&=&471+\frac12\\ x&=&471{,}5 \end{eqnarray}$$

Přičítání k rovnici klasicky využijete v případě, kdy chcete „přehodit“ výraz z jedné strany rovnice na druhou stranu rovnice. Pokud máte rovnici

$$3=2x+17,$$

tak jak dostanete výraz s proměnnou, tj. 2x na levou stranu rovnice? Jednoduše k celé rovnici přičtete −2x. Tím dostanete na pravé straně rovnice místo 2x nulu, protože 2x − 2x = 0. A na druhé straně dostaneme −2x:

$$\begin{eqnarray} 3&=&2x+17\quad/-2x\\ 3-2x&=&2x-2x+17\\ 3-2x&=&17 \end{eqnarray}$$

Násobení

Rovnici také můžeme vynásobit nějakou funkcí. Jedinou podmínkou je, že ta funkce nesmí být nulová. Nemůžeme rovnici vynásobit nulou, ani nějakou funkcí, která by se na nulu dala upravit, například f(x) = x − x. Takže pokud máme rovnici

$$3x=7,$$

můžeme ji vynásobit dvojkou:

$$\begin{eqnarray} 3x&=&7\quad/\cdot2\\ 2\cdot3x&=&2\cdot7\\ 6x&=&14 \end{eqnarray}$$

Tohle asi nemělo moc velký smysl, násobení se používá například ve chvíli, kdy se potřebujete zbavit zlomků:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Pokud tuto rovnici vynásobíme jmenovatele zlomku na pravé straně rovnice, tak se výraz 5x krásně zkrátí díky vlastnostem zlomků.

$$\begin{eqnarray} 3&=&\frac{2}{5x}\quad/\cdot5x\\ 5x\cdot3&=&5x\cdot\frac{2}{5x}\\ \end{eqnarray}$$

Teď vynásobíme zlomek 5x, čímž se 5x dostane do čitatele zlomku a následně můžeme výraz 5x zkrátit, protože ho máme jak ve jmenovateli, tak i v čitateli.

$$\begin{eqnarray} 15x&=&\frac{5x\cdot2}{5x}\\ 15x&=&2\\ \end{eqnarray}$$

Na začátku této části jsem říkal, že nesmíme násobit nulou. Nyní jsme násobili výrazem 5x — jenže tento výraz obsahuje proměnnou a pokud do této proměnné dosadíme nulu, vyjde i celá proměnná nula a vida, už násobíme nulou. Co s tím?

Řeší se to tak, že se určí podmínky, za kterých tuto úpravu můžeme provést. V tuto chvíli tak musíme napsat, že násobit 5x můžeme jen za předpokladu, že x bude různé od nuly. Ale teď se ještě podívejme na rovnici, kterou jsme násobili. Výraz 5x už tam je obsažen a je ve jmenovateli zlomku. Co to znamená? Nemůžeme dělit nulou, takže už sám definiční obor funkce 5x vylučuje, aby se x rovnalo nule.

Takže ještě jednou — rovnice obsahuje zlomek s výrazem 5x ve jmenovateli. Protože nemůžeme dělit nulou, tak rovnice má smysl jen za předpokladu, že x je různé od nuly. Proto můžeme celou rovnici bez starosti vynásobit 5x, protože nutné podmínky nám už obstará definiční obor funkce ve jmenovateli.

Násobení složitějšími výrazy

Teď důležitá poznámka k tomu, že pokud násobíme rovnici nějakým výrazem, musíme vždy násobit celou pravou stranu a celou levou stranu. Pro příklad si vezměme tuto rovnici:

$$x+2=x-4$$

Pokud bychom ji chtěli vynásobit dvojkou, museli bychom násobit celé strany, takto:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot(x+2)&=&2\cdot(x-4)\\ 2x+4&=&2x-8 \end{eqnarray}$$

Chybou by bylo nenapsat tam ty závorky, protože bychom dostali chybný výsledek:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot x+2&=&2\cdot x-4\\ 2x+2&=&2x-4 \end{eqnarray}$$

Vidíte, že výsledek je jiný než v předchozím případě. Obdobně pokud násobíte složitějším výrazem, musíte násobit celou rovnici. Pro příklad si vezmeme rovnici

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Tuto rovnici vynásobíme výrazem x + 3, abychom se zbavili proměnné ve jmenovateli na pravé straně.

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&\frac{2}{x+3}\quad /\cdot(x+3)\\ (x+3)(2x+1)&=&(x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3} \end{eqnarray}$$

Zlomek máme ve tvaru, kdy ho můžeme hezky pokrátit výrazem x + 3:

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&2 \end{eqnarray}$$

Teď ještě můžeme roznásobit levou stranu rovnice a nakonec odečíst dvojku, abychom „přesunuli“ dvojku na levou stranu, čímž dostaneme na pravé straně nulu.

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&2\\ 2x^2+x+6x+3&=&2\\ 2x^2+7x+3&=&2\quad/-2\\ 2x^2+7x+1&=&0 \end{eqnarray}$$

Dělení

Stejně jako můžeme rovnici násobit, můžeme ji také dělit. Se stejným omezením, jako v případě násobení — nesmíme dělit nulou. Dělení můžeme totiž jednoduše proměnit na násobení. Pokud chceme rovnici vydělit výrazem w, bude to stejné, jako kdybychom rovnici vynásobili zlomkem 1/w. Dělení se používá často v příkladech jako je například tento:

$$12x=7$$

Tohle je typ rovnice, se kterou toho už moc neuděláme, můžeme jedině vydělit celou rovnici dvanácti, čímž získáme hodnotu x.

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/:12\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Stejný výsledek bychom dostali, kdybychom rovnici vynásobili 1/12:

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/\cdot\frac{1}{12}\\ 12x\cdot\frac{1}{12}&=&7\cdot\frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}&=&\frac{7}{12}\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Umocnění

Při úpravách rovnic můžeme používat i mocniny, ale s jistými omezeními. Nejdříve si osvěžíme znalosti mocnin. Platí tato rovnost?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Pokud umocníte nějaké číslo na druhou a následně provedete druhou odmocninu, dostanete zpět původní číslo? Tohle je zákeřná otázka a odpovědí je, že ne vždy. Představte si, že za x dosadíte záporné číslo, například minus tři:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{(-3)^2}&=&-3\\ \sqrt{9}&=&-3\\ 3&\ne&-3 \end{eqnarray}$$

Jak je vidět, rovnice najednou neplatí, protože když umocníme na druhou záporné číslo, dostaneme kladné číslo. Ale pokud zpět odmocníme kladné číslo, dostaneme zase kladné číslo. Kdy by tato rovnost platila? V případě, kdy víme, že pracujeme jen s kladnými, respektive nezápornými, čísly. Rovnici si tak můžeme dovolit umocnit v případě, že víme, že pracujeme s kladnými čísly.

Například v geometrii často počítáme nějaké rovnice, které obsahují délky nějakých úseček a v tuto chvíli můžeme bez obav i umocňovat, protože délka jako taková nemůže být záporná. I při umocnění nebo odmocnění platí pravidlo, že musíme umocnit celou rovnici. Takže příklad:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Předpokládejme, že se pohybujeme pouze v kladných číslech, proto si můžeme dovolit umocnit celou rovnici na druhou:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x+2}&=&x+4\quad/^2\\ \left(\sqrt{x+2}\right)^2&=&(x+4)^2\\ x+2&=&x^2+8x+16\\ x^2+7x+14&=&0 \end{eqnarray}$$

Dostali jsme kvadratickou rovnici, kterou můžeme řešit prostředky popsanými v článku.

Jak by se řešila rovnice, kde potřebuje umocnit na druhou, ale nemůžete si být jisti, jestli se pohybujete jen v kladných číslech? Jednoduše to umocníte a potom provedete zkoušku, tím umocnění totiž můžete získat výsledky, které nejsou správnými výsledky rovnice. Takže příklad:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Rovnici nyní umocníme na druhou:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\quad/^2\\ \left(\sqrt{x}\right)^2&=&(x-2)^2\\ x&=&x^2-4x+4\\ x^2-5x+4&=&0 \end{eqnarray}$$

Opět dostáváme kvadratickou rovnici, takže ji vyřešíme nějakou vhodnou technikou, například rozkladem (přesný postup je v odkázaném článku):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Vidíme, že jeden výsledek je 1 a druhý 4. Ovšem víme, že jsme provedli neekvivalentní úpravu, takže musíme ještě provést zkoušku. Dosadíme tato řešení do původní rovnice a zjistíme, který z těch výsledků je platným výsledkem původní rovnice. Nejdříve dosadíme jedničku:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{1}&=&1-2\\ 1&\ne&-1 \end{eqnarray}$$

Ověřením jsme zjistili, že jednička není řešením původní rovnice. Co čtyřka?

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{4}&=&4-2\\ 2&=&2 \end{eqnarray}$$

Čtyřka je řešením původní rovnice, našli jsme výsledek.