Těžnice trojúhelníku

Těžnice trojúhelníku je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Trojúhelník má přesně tři těžnice a jejich průsečík tvoří těžiště trojúhelníku.

Ukázka

Podívejte se na následující trojúhelník s vyznačenými těžnicemi: Červeně jsou vyznačeny jednotlivé těžnice. Podobně jako u výšek trojúhelníků i tady označujeme těžnice malým písmenem t spolu s dolním indexem, který specifikuje, které straně a kterému vrcholu těžnice přísluší. Protože naproti vrcholu A máme stranu a, bude i těžnice mít název t_a.

Těžnice půlí daný trojúhelník na dva trojúhelník se stejným obsahem. Na rozdíl od výšky trojúhelníku vypadají těžnice stejně u všech typů trojúhelníků.

Střed úsečky

Tři body S_a, S_b a S_c představují středy daných stran, daných úseček. Střed můžete graficky vypočítat pomocí kružítka a pravítka. Například střed strany AB naleznete tak, že narýsujete dvě stejně velké kružnice se středem ve vrcholech A a B. Tyto kružnice musí mít poloměr větší než je polovina délky úsečky AB — ale tento poloměr musí být u obou kružnic stejný! Buď to odhadněte, nebo narýsujte kružnici o poloměru délky strany AB. Tyto dvě kružnice se protnou ve dvou bodech. Tyto body spojte úsečkou a kde tato úsečka protne stranu AB, tam se nachází střed strany AB.

Zeleně je na obrázku zvýrazněno těžiště trojúhelníku, což je pomyslný střed trojúhelníku.

Těžiště

Všechny těžnice se vždy protínají v jednom bodě. Tak poznáte, jestli jste rýsovali správně. Pokud se vám protínají někde mimo, rýsovali jste buď nepřesně, nebo úplně blbě. Těžiště se vždy nachází vevnitř trojúhelníku, narozdíl od ortocentra, které se může nacházet i mimo trojúhelník.

Těžiště představuje pomyslný střed trojúhelníku, pokud byste chtěli podržet trojúhelník na špičky tužky, pak byste měli tužku umístit právě pod těžiště, aby vám trojúhelník nespadl.

Těžiště dále dělí délky těžnic v poměru 1:2. To znamená, že dvě třetiny délky těžnice jsou na jedné straně od těžiště a zbývající jedna třetina na další straně. Delší část těžnice je vždy směrem „k vrcholu“ trojúhelníku. „U strany“ je naopak kratší část. Podívejte se na obrázek:

Délka úsečky AT (modrá úsečka) je dvakrát větší než délka úsečky TS_a (zelená úsečka). Přitom platí, že úsečky AD, DT a TS_a mají stejnou velikost. Podobně pro ostatní těžnice.

Střední příčka

Střední příčka je úsečka, která má za krajní body středy jednotlivých stran trojúhelníku. Prohlédněte si obrázek:

Body S_a, S_b a S_c jsou středy stran, to zůstalo stejné jako v případě těžnic. Pro vytvoření střední příčky jsme jen vždy dva tyto body spojili úsečkou. Střední příčky označujeme písmenem s spolu s dolním indexem, kde dáme protější vrchol. Trojúhelníku, který vznikne, se říká příčkový trojúhelník. Zajímavostí je, že těžiště tohoto příčkového trojúhelníku je stejné, jako původního originálního trojúhelníku. V našem případě je to bod T.

Výpočet délky těžnice

Na výpočet délky těžnice můžeme použít Apolloniovu větu. Předpokládejme nyní, že a, b, c jsou délky příslušných stran trojúhelníku, podobně t_a, t_b a t_c jsou délky těžnic:

$$\begin{eqnarray} t_a&=&\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ t_b&=&\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ t_c&=&\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}} \end{eqnarray}$$