Skalární součin

Skalární součin se definuje mezi dvěma vektory a zachycuje vztah mezi velikostí vektorů a jejich úhlem.

Skalární součin

Skalární součin definujeme mezi dvěma vektory. Značíme ho jako běžný součin, středovou tečku: $\vec{\mathbf{u}} \cdot \vec{\mathbf{v}}$. Výsledkem skalárního součinu je reálné číslo, není to vektor. Máme-li dva vektory $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)$ a $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2)$, pak jejich skalární součin je roven:

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=u_1v_1+u_2v_2$$

Pokud je alespoň jeden z vektorů $\vec{\mathbf{u}}$ a $\vec{\mathbf{v}}$ nulový, definujeme jejich součin takto:

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=0$$

Jaký je geometrický význam skalárního součinu? Pro skalární součin dvou vektorů zároveň platí

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|\cdot\cos\alpha,$$

kde α představuje velikost úhlů těchto vektorů. Tento vzorec nám dává jednoduchý způsob jak zjistit velikost úhlu dvou vektorů. Pokud z tohoto vzorce osamostatníme cosinus, získáme vzorec:

$$\cos\alpha=\frac{\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}}{|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Vzorec platí v rovině. Pokud se pohybujeme v prostoru, musíme přidat ještě jednu dimenzi. V tuto chvíli už můžeme nakreslit geometrický význam skalárního součinu.

Pokud skalárně násobíme vektory $\vec{\mathbf{u}}$ a $\vec{\mathbf{v}}$, tak pokud výsledek vydělíme délkou vektoru $\vec{\mathbf{v}}$, získáme délku úsečky AD, což je velikost průmětu vektoru $\vec{\mathbf{v}}$ do směru vektoru $\vec{\mathbf{u}}$.

Testování pravého úhlu

Skalární součin můžeme použít pro testování, zda je úhel mezi vektory rovný $90^{\circ}$. Kdy bude skalární součin rovný nule? Když se podíváme na vzorec…

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|\cdot\cos\alpha$$

… tak zjistíme, že součin $|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|$ bude zřejmě vždy nenulový (úhel mezi nulovými vektory nedefinujeme, takže se teď zabýváme pouze nenulovými vektory). Velikost vektorů budou vždy kladné, stejně tak jejich součin. Jediný výraz, který může celý výraz srazit na nulu je cosinus. Kdy je cosinus rovný nule? Pokud je úhel rovný $90^{\circ}$ (nebo $270^{\circ}$ — pravý úhel ale bude na druhé straně). Platí tak, že vektory svírají pravý úhel, právě když je jejich skalární součin rovný nule.

Příklad: mějme tyto tři vektory: $\vec{\mathbf{u}}_1=(-2, 4), \vec{\mathbf{u}}_2=(2, 1), \vec{\mathbf{u}}_3=(1, 4)$. Které z nich jsou na sebe kolmé? Spočítáme postupně skalární součin všech vektorů: ahoj

$$\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_2=-2\cdot2+4\cdot1&=&0\\ \vec{\mathbf{u}}_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_3=-2\cdot1+4\cdot4&=&14\\ \vec{\mathbf{u}}_2\cdot \vec{\mathbf{u}}_3=2\cdot1+1\cdot4&=&6 \end{eqnarray}$$

Podle skalárního součinu je pravý úhel pouze mezi vektory $\vec{\mathbf{u}}_1$ a $\vec{\mathbf{u}}_2$. Můžete si prohlédnout obrázek s těmito vektory:

Zkusíme si ještě vypočítat úhel mezi vektory $\vec{\mathbf{u}}_1$ a $\vec{\mathbf{u}}_3$. Jednoduše dosadíme do vzorce:

$$\begin{eqnarray} \cos\alpha&=&\frac{-2\cdot1+4\cdot4}{\sqrt{(-2)^2+4^2}\cdot\sqrt{1^2+4^2}}\\ &=&\frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{17}}\\ &=&\frac{14}{\sqrt{340}}\\ &\approx&\frac{14}{18.439} \end{eqnarray}$$

Pokud spočítáme arcus cosinus, získáme velikost úhlu. Výsledkem je úhel o velikosti přibližně $40^{\circ}$.