Co je to rovnice

Rovnice je jeden ze základních pojmů v matematice a jeden z prostředků, díky kterému celé matematika funguje.

Úvodní příklad

Rovnice má svou levou stranu, dále znak rovnítka a pravou stranu. Triviální rovnice může vypadat takto:

$$x=2$$

Na levé straně je proměnná x, pak následuje rovnítko a na pravé straně číslo 2. Tato rovnice je jednoduchá a říká nám, že hodnota proměnné x je rovna dvěma. Proměnná x pak obvykle představuje něco, co hledáme. Může to být například počet knoflíků na košili nebo plat zaměstnance.

Ovšem rovnice v tomto tvaru je spíš něco, co hledáme, než něco co by bylo v zadání příkladu. V praxi míváme nějakou složitější rovnici, například máme řečeno, kolik celkem vydělá pět zaměstnanců a naším úkolem je zjistit, kolik vydělá jeden zaměstnance (za předpokladu, že všichni vydělají stejně).

Například víme, že pět učitelů vydělá celkem 120 000 korun měsíčně. Kolik vydělá jeden učitel? Rovnici z toho sestavíme takto: jako x si označíme plat jednoho učitele. Tím pádem dostaneme rovnici:

$$5x=120 000$$

Tato rovnici je matematický zápis zadání „pět učitelů má v součtu plat 120 000“. Naším cílem je zjistit plat jednoho učitele, tedy zjistit hodnotu x = ?. Trochu předběhneme a použijeme ekvivalentní úpravy rovnic a vydělíme rovnici pěti. Pokud pět učitelů dostává 120 000, pak jeden učitel dostává pětkrát méně. Ve výsledku tak máme

$$x=120 000 / 5$$

a po vydělení

$$x=24 000.$$

Definice rovnice

K definici pojmu rovnice budeme potřebovat vědět, co je to funkce. Pokud známe funkce, pak si můžeme rovnici představit jako zápis rovnosti dvou funkcí:

$$f(x)=g(x)$$

Toto je obecný zápis rovnice o jedné neznámé. Na levé straně máme funkci f a na pravé straně funkci g. Naším úkolem je najít kořeny rovnice, což jsou hodnoty x, pro které mají funkce f a g stejnou hodnotu.

Takže chceme najít takové konkrétní hodnoty x, označím je x₁, pro které platí

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Vezmeme si na pomoc rovnici 2x = −4x + 6. Pak by platilo, že f(x) = 2x a g(x) = −4x + 6. Hledáme taková x, pro která má funkce f stejnou hodnotu jako funkce g. Vyřešením rovnice pomocí ekvivalentních úprav dostaneme:

$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 2x+4x&=&-4x+4x+6\\ 6x&=&6\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Výsledkem rovnice je hodnota x = 1. Pro tuto hodnotu by nám měly obě funkce vrátit stejnou hodnotu. Pokud zavoláme funkci f s jedničkou, dostaneme

$$f(1)=2\cdot1=2$$

Funkce f má v bodě dva hodnotu dva. Co funkce g? Zavoláme ji s jedničkou:

$$g(1)=-4\cdot1+6=-4+6=2$$

Vidíme, že jsme opět dostali dvojku. Číslo jedna je tak kořenem rovnice. Je to zároveň jediný kořen rovnice v oboru reálných čísel. Pokud bychom funkce zavolali s jinou hodnotou, dostaneme různé výsledky. Například pro pětku bychom dostali:

$$\begin{eqnarray} f(5)&=&2\cdot5=10\\ g(5)&=&-4\cdot5+6=-20+6=-14 \end{eqnarray}$$

Grafický význam

Řešení rovnice mají hezký a zřejmý grafický význam. Pokud si totiž nakreslíte grafy funkcí, které se vyskytují na levé a pravé straně rovnice, pak se tyto grafy budou protínat právě v místech, kde má daná rovnice řešení.

Vrátíme se k rovnici 2x = −4x + 6. Funkce na levé straně je f(x) = 2x a funkce na pravé straně je g(x) = −4x + 6. Víme, že kořenem této rovnice je hodnota x = 1. Mělo by tedy platit, že v bodě dva se tyto funkce protínají. Následuje obrázek grafů obou funkcí:

Vidíte, že přímky se protínají v jednom bodě a tento bod má souřadnice [1,2]. První souřadnice je hodnota x, kořen rovnice. Druhá hodnota je hodnota y, tedy výsledná hodnota obou funkcí, pokud je zavoláte s jedničkou.

Řešením rovnice jsou tak všechny body, ve kterých se funkce na levé a pravé straně protínají. Často rovnice převádíme tak, aby na pravé straně byla nula, tedy konstantní funkce g(x) = 0. Pak řešíme, kdy funkce na levé straně protíná osu x. Předchozí rovnici 2x = −4x + 6 můžeme upravit tak, aby byla na pravé straně nula takto:

$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 6x&=&6\\ 6x-6&=&0 \end{eqnarray}$$

Pokud si nakreslíme graf funkce na levé straně…

… tak zjistíme, že graf protíná osu x v bodě 1. Vidíme, že i když jsme upravili rovnici tak, aby na pravé straně byla nula, dostaneme stejný výsledek — opět jednička.

Počet řešení rovnice

Z grafické interpretace rovnic můžeme usoudit, kolik různých řešení může rovnice mít. Můžeme tak snadno zodpovědět otázky jako — má každá rovnice řešení? Může mít rovnice více než jedno řešení? Může mít rovnice nekonečně mnoho řešení?

Žádné řešení

Začneme popořadě. Existuje rovnice, která nemá řešení? Redukujeme to na otázku — existují nějaké dva grafy funkcí, které se nikdy neprotínají? Samozřejmě, že existují. Pokud zůstaneme u lineárních rovnic, která mají jako grafy přímky, pak stačí vzít přímky, které jsou rovnoběžné. Například:

$$x+1=x+2$$

Už selským rozumem můžeme odvodit, že x + 1 se nikdy nemůže zároveň rovnat x + 2. Když si nakreslíme graf, získáme:

Vidíme, že funkce jsou přímky, které jsou rovnoběžné a nikdy se tak neprotnou. Tedy rovnice, kterou jsme z nich poskládali, nemá žádné řešení. Rovnici můžeme upravit takto:

$$\begin{eqnarray} x+1&=&x+2\\ x-x&=&2-1\\ 0x&=&1\\ 0&\ne&1 \end{eqnarray}$$

Vidíme, že rovnice opravdu nemá žádné řešení.

Můžeme vymyslet mnoho dalších rovnic, které nebudou mít řešení, například rovnice x² = x − 1. Grafy obou funkcí se nikdy neprotnou:

Více řešení

Může mít rovnice více než jedno řešení? (Ale stále méně než nekonečno.) Opět to redukujeme na otázku — existují nějaké dva grafy funkcí takové, že mají konečný počet průniků a počet průniků je zároveň větší než dva?

Určitě existují. V předchozí kapitole jsme jako poslední ukázku měli rovnici s kvadratickou a lineární funkcí. Předchozí graf můžeme upravit tak, že posuneme přímku tak, aby protínala graf kvadratické funkce právě ve dvou bodech. Stačí vzít místo y = x − 1 funkci y = x.

Vidíme, že grafy se protínají ve dvou bodech. Rovnici bychom mohli vyřešit takto:

$$\begin{eqnarray} x^2&=&x\\ x^2-x&=&0\\ x\cdot(x-1)&=&0\\ x_1&=&0\\ x_2&=&1 \end{eqnarray}$$

Nekonečně mnoho řešení

Existují rovnice, které mají nekonečně mnoho řešení? Tedy existují dva grafy takové, že se protínají v nekonečně mnoho bodech? Ano, existují. Stačí si vzít nějakou periodickou funkci a nějak vhodně ji proložit přímkou. Typická periodická funkce je sinus. Sinus má obor hodnot interval <−1, 1> a v tomto oboru se periodicky opakuje.

Stačí tak položit sin(x) = a, kde a bude z oboru hodnot. Konkrétní příklad by mohl vypadat takto: sin(x) = 0,5. Grafy funkcí:

Vidíme, že na obrázku přímka protíná sinus v několika bodech. Sinus pokračuje ve vlnění jak vpravo, tak vlevo, takže jak na pravé straně, tak na levé straně ještě přímka protne sinus nekonečněkrát.

Stejné funkce v rovnici

Může nastat situace, kdy můžeme za x dosadit jakoukoliv hodnotu z definičního oboru funkcí a rovnice bude platit? To nastane jen v případě, kdy jsou obě funkce stejné nebo když jednu funkci můžeme na tu druhou upravit. Takže příklad:

$$2x+4=2\cdot(x+2)$$

Na první pohled máme na každé straně různé funkce, ale pokud roznásobíme závorku na pravé straně, dostaneme stejné funkce:

$$2x+4=2x+4$$

Taková rovnice má množinu řešení rovnou definičnímu oboru funkcí, tedy množina řešení je rovna množině reálných čísel. Takovou rovnici lze upravit do podoby 0 = 0.

$$\begin{eqnarray} 2x+4&=&2x+4 \qquad/-2x\\ 4&=&4 \qquad /-4\\ 0&=&0 \end{eqnarray}$$