Operace s relacemi

Protože relace jsou ve skutečnosti množiny, můžeme s nimi provádět klasické množinové operace.

Množinové operace

V předchozím článku jsme si relace definovali jako množinu. S množinami můžeme provádět operace jako je sjednocení, průnik nebo rozdíl. Podívejme se, jaký význam to má v případě relací.

Jako první musíme zavést podmínku, protože nemůžeme tyto operace provádět mezi libovolnými relacemi. Pokud máme relace „menší než“ a „býti sudým číslem“, tak tyto operace nebudou mít smysl, protože první relace je binární, kdežto druhá unární. Abychom tak po aplikaci množinové operace opět získali relaci, musí mít všechny přítomné relace stejnou aritu, tj. musí být všechny n-ární pro nějaké n.

Sjednocení

Mějme relace „menší než“ a „rovnost“. Co se stane, pokud tyto relace sjednotíme? V relaci menší než máme všechny dvojice [a, b], pro které platí a < b. V relaci rovnosti máme všechny dvojice [a, b], pro které platí a = b. V relaci < ∪ = tak budou všechny dvojice [a, b], pro které platí, že a < b nebo a = b. Číslo a je buď menší než číslo b nebo je stejné. Takovou relaci známe a říkáme jí "menší nebo rovno", označujeme ji ≤.

Máme-li relace R₁ a R₂, pak sjednocením vznikne relace R = R₁ ∪ R₂, pro kterou platí: prvek r je v relaci R, pokud je v relaci R₁ nebo je v relaci R₂. Jinými slovy, ve výsledné relaci bude v případě, že byl alespoň v jedné ze sjednocovaných relací.

Průnik

Při sjednocení jsme dostali novou relaci, jejichž prvky byly prvky alespoň jedné ze sjednocovaných relací. U průniku je to podobně, pouze prvky musí být členy obou relací.

Pokud si vezmeme opět relace menší než a rovnost (nad reálnými čísly) a uděláme jejich průnik — co dostaneme? Měli bychom dostat prvky, které jsou v relaci menší než a zároveň jsou si rovny. Takový případ ale nemůže nastat, protože pokud a < b, tak nikdy neplatí a = b. Dostali bychom prázdnou relaci.

Mějme tyto dvě relace: "dělitelnost beze zbytku" a binární relace obsahující dvojice prvků [a, b], kde a je liché číslo a b je sudé číslo. Pracujme nad přirozenými čísly. V první relaci by byly dvojice čísel jako [5, 15], [6, 30], [3, 123] — vždy druhé číslo musí být dělitelné prvním číslem. Ve druhé relaci budou takové dvojice čísel, kde první číslo je liché a druhé sudé: [1, 4], [5, 14], [3, 24] apod. Průnikem těchto relací vznikne nová relace R a bude obsahovat takové dvojice [a, b], pro které platí, že b je dělitelné a a zároveň a je liché a b je sudé číslo. Například: [5, 30] nebo [3, 24].

Rozdíl

Máme-li dvě relace R₁ a R₂, pak rozdílem R₁ − R₂ vznikne nová relace, do které patří prvky, které jsou v R₁, ale nejsou v R₂. Můžeme se opět vrátit k relacím menší nebo rovno a rovnost. Pokud bude relace R₁ menší nebo rovno a relace R₂ bude rovnost, pak rozdílem R₁ − R₂ získáme prvky, které jsou v relaci menší nebo rovno, ale nejsou v relaci rovnosti. Takže získáme dvojice [a, b], pro které platí, že a ≤ b a zároveň neplatí a = b. Jinými slovy dostaneme relaci menší než: <.

Doplněk relace

Ke každé relaci můžeme najít doplněk relaci. Prvky doplňku relace R jsou všechny prvky, které nepatří do původní relace R. Například doplněk relace k relaci rovnosti (tj. = ) je relace nerovnosti. V první relaci máme všechny dvojice prvků, které se rovnají (např. 5 = 5), v doplňku relace máme všechna čísla, která se nerovnají (např. 5≠6).

Jediné, na co si musíte dát u určování doplňku relace pozor je nosná množina — množina do které relace patří. Relaci rovnosti můžeme zadefinovat na přirozených číslech, celých číslech, reálných číslech, ale klidně i na množině všech lidí na zemi.

Pokud máme binární relaci R takovou, že je z množin M₁ a M₂: R ⊆ M₁ × M₂, tak platí, že doplněk relace, označme ho S, je roven S = (M₁ × M₂) ∖ R: jsou to ty prvky, které jsou v kartézském součinu nosných množin, ale nejsou v relaci R. Podobně pro relace jiných arit.