Vlastnosti funkce

Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru M přiřadí právě jedno y z oboru hodnot N. Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x), či ji můžeme vyjádřit explicitně f:y = x kde proměnná x je argument funkce.

Definiční obor a obor hodnot

U každé funkce musíme také určit její definiční obor, což je množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat. Definiční obor funkce f značíme D(f).

Jednoduchý příklad: f:y = x zde je definiční obor roven celé množině reálných čísel D(f) = ℝ. Jiný příklad: $f:y = \frac{1}{x}$ v tomto případě je definiční obor množina reálných čísel, ovšem tentokrát vyjma nuly, protože nemůžete dělit nulou, výraz by poté nedával smysl D(f) = R ∖ {0}.

Obor hodnot je poté analogicky množina všech přípustných y, tedy množiny všech prvků, kam může ukazovat funkce f. Opět jednoduchý příklad: mějme funkci f:y = x. Zde je oborem hodnot množina ℝ, protože y může dosahovat libovolné hodnoty z této množiny. Vezměme si ovšem další funkci f:y = |x| (absolutní hodnota). Tady již bude obor hodnot roven intervalu <0, +∞), protože se nikdy nemůže stát, že by se y rovnalo například minus pěti, protože to z definice absolutní není možné.

Pokud bychom se drželi pojmu zobrazení z množiny A do množiny B, pak vězte, že množina A jest definičním oborem a množina B se nazývá obor hodnot.

Monotonnost funkce

Monotonnost funkce je vlastnost, která určuje, zda je funkce na daném intervalu rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, konstantní nebo nic z uvedeného.

Nejlépe jde tato vlastnost vyčíst z grafu, jestliže máte pocit, že graf klesá, jedná se o funkci klesající, roste-li funkce, je to funkce rostoucí. Jak prosté :-). Definice by vypadaly takto: máme funkci f a nechť x₁, x₂ ∈ D(f). Potom řekneme, že

• funkce f je rostoucí, pokud x₁ < x₂, pak f(x₁) < f(x₂).
• funkce f je klesající, pokud x₁ < x₂, pak f(x₁) > f(x₂). (Definice vypadá stejně, ale v prvním případě je u funkčních hodnot < a ve druhém >)

Prohlédněte si graf rostoucí funkce f(x) = ln(x):

Vidíme, že když vybereme takové x₁, x₂, aby platilo x₁ < x₂, pak také platí, že f(x₁) < f(x₂). Teď si prohlédněte další graf, tentokrát funkce $f(x)=\frac{1}{x}$, která je klesající například na intervalu (0, ∞):

Zde vidíme, že když je x₁ < x₂, tak pro jejich funkční hodnoty naopak platí f(x₁) > f(x₂). Přestože je x₁ menší než x₂, tak „vytváří“ větší funkční hodnotu.

Ještě si uvedeme zbylé definice:

• Funkce f je neklesající, pokud x₁ < x₂, pak f(x₁) ≤ f(x₂). (Definice je podobná jako u rostoucí funkce, pouze připouštíme, aby funkce na určité úseku měla konstantní hodnotu)
• Funkce f je nerostoucí, pokud x₁ < x₂, pak f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funkce f je konstantní, pokud je oborem hodnot jednobodová množina, neboli pokud pro jakékoliv dva x₁, x₂ platí, že f(x₁) = f(x₂).

Příklad nerostoucí funkce je funkce f(x) = |x|−x:

Všimněte si, že na intervalu (−∞, 0) funkce klesá, ale na zbylém intervalu má funkce konstantní funkční hodnotu (nula). Na celém definičním oboru se tak jedná o nerostoucí funkci.

Sudá a lichá funkce

Některé funkce mohou být za jistých podmínek sudé anebo liché. Nejjednodušší je znát graf funkce, tam to lze poznat nejrychleji. Funkce sudá je totiž souměrná podle osy y, kdežto funkce lichá je souměrná podle počátku [0, 0]. Příklad sudé funkce může být y = x² a lichá funkce je například funkce y = 2x. Definice by vypadaly takto — funkce f je

• sudá, pokud pro všechna x ∈ D(f) platí, že f(x) = f(−x),
• lichá, pokud pro všechna x ∈ D(f) platí, že −f(x) = f(−x).

O sudých a lichých funkcích pojednává samostatný článek Sudá a lichá funkce.

Prostá funkce

Prostou funkci poznáme tak, že má všechny funkční hodnoty unikátní, žádná funkční hodnota se neopakuje. Definice:

Funkce f je prostá, pokud pro všechna x₁, x₂ ∈ D(f) platí, že

$$ x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) $$

Pokud vybereme dvě různá x z definičního oboru funkce, pak jejich funkční hodnoty musí být vždy různé.

Graficky se to dá poznat jako vždycky zcela jednoduše. Pokud položíte grafem přímku rovnoběžnou s osou x, musí protínat graf maximálně v jednom bodě. Příkladem prosté funkce je například lineární funkce y = 3x. Ať vezmete jakoukoliv přímku, vždy protne graf právě v jednom bodě. Opakem je třeba funkce sinus, jejíž graf tvoří jakési vlnky, takže pokud položíte přímku rovnoběžnou s osou x protínající osu y v bodě $\frac12$, naleznete nekonečně mnoho průsečíků s grafem, tudíž to není funkce prostá.

Funkce omezená

Funkce mohou být omezené a to shora omezené, zdola omezené anebo jak shora, tak zdola — takové funkci prostě říkáme funkce omezená. Funkce f je shora omezená, pokud nalezneme takové reálné číslo A, které je větší než všechny funkční hodnoty funkce f. Obdobně pro zdola omezenou funkci. Takže definice:

• Funkce f je shora omezená, pokud existuje A ∈ ℝ takové, že pro všechna x ∈ D(f) platí, že A > f(x).
• Funkce f je zdola omezená, pokud existuje A ∈ ℝ takové, že pro všechna x ∈ D(f) platí, že A < f(x).

Graficky si to můžeme představit tak, že hledáme přímku rovnoběžnou s osou x (tj vodorovnou přímku), která se nachází nad nebo pod celým graf funkce.

Na obrázku máme graf funkce f(x) = x⁴, která je zdola omezená. Všimněte si, že vůbec nemusíme najít taková A, které je „nejbližší“ grafu, stačí přímku umístit libovolně pod graf.

Minimum a maximum

Funkce f má v bodě M definičního oboru maximum, pokud je v tomto bodě M nejvyšší funkční hodnota ze všech funkčních hodnot, které funkce má. Obdobně pro minimum. Definice:

• Funkce f má v bodě M ∈ D(f) globální maximum, pokud platí, že pro všechna x ∈ D(f) platí f(x) ≤ f(M) — zkrátka, že funkční hodnota je nejvyšší v bodě M. Pokud existuje jediné maximum, říkáme mu ostré maximum.
• Funkce f má v bodě m ∈ D(f) globální minimum, pokud platí, že pro všechna x ∈ D(f) platí f(x) ≥ f(M) — funkční hodnota je nejmenší v bodě m.

Na grafu asi maximum a minimum funkce najdete docela snadno, podíváte se prostě, kde je funkce nejníže či nejvýše. Funkce ovšem samozřejmě nemusí mít ani minimum ani maximum, či může mít pouze minimum anebo pouze maximum, stejně tak může funkce mít pouze lokální extrémy, ale na celém definičním oboru nemít žádný extrém.

Pokud potřebujete najít minima a maxima, použijte derivace, přesný postup je popsán v článku průběh funkce.

Příklad

Určete vlastnosti funkce podle následujícího grafu:

• Definičním oborem této funkce je interval <−4, 4>.
• Obor hodnot je interval <−2, 4>.
• Funkce sice vypadá, že by mohla být rostoucí, ale v úseku <0, 2> má funkce konstantní hodnotu, takže rostoucí být nemůže. Nicméně funkce v žádné intervalu neklesá, proto je to funkce neklesající.
• Graf funkce není souměrný s osou y ani s počátkem souřadnicového systému, takže funkce není ani sudá, ani lichá.
• Je funkce prostá? Už bylo řečeno, že v úseku <0, 2> má funkce konstantní hodnotu, takže funkce nemůže být prostá. Pro různá x má stejné y.
• Funkce je omezená a to jak shora, tak zdola. Jsme schopni nalézt vodorovnou přímku, která bude nad celým grafem i pod celým grafem.
• Zadaná funkce má i minimum a maximum. Minimum má v bodě m = −4 a maximum v bodě M = 4.