Přirozená čísla
Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jedná se o kladná celá čísla, tedy o čísla 1, 2, 3, 4, …
Značení
Přirozená čísla je množina, která obsahuje kladná celá čísla 1, 2, 3, 4, … Tuto množinu obvykle značíme pomocí písmene N se zdvojenou první nožkou, takto: ℕ. Je to z anglického „naturals“.
Někdy předpokládáme, že množina přirozených čísel obsahuje i nulu. Pokud to potřebujeme rozlišit, používáme obvykle klasické ℕ pro množinu bez nuly a pokud chceme i nulu, pak přidáme nulu do indexu takto: ℕ0. Často pak ještě používáme značení s pluskem pro zvýraznění, že počítáme s přirozenými čísly bez nuly $\mathbb{N}^+$.
Přirozená čísla používáme především pro určování množství něčeho („máme doma tři židle“, „v parku je třicet laviček“, …) a pro určení pořadí („první člověk na měsíci“, „Kanada je druhá největší země na světě“, …).
Vlastnosti
Přirozená čísla mají některé zajímavé vlastnosti:
- Množina přirozených čísel je nekonečná, ale je spočetná, můžeme je všechny uspořádat do posloupnosti.
- Přirozená čísla jsou uzavřená vůči operaci sčítání a násobení. Znamená to, že pokud vynásobíme nebo sečteme kterákoliv dvě přirozená čísla, získáme opět přirozené číslo.
- Nejsou uzavřená vůči odečítání, protože pokud odečteme větší číslo od menšího, dostaneme záporné číslo.
- Podobně nejsou ani uzavřená vůči dělení, například 7/2 není přirozené číslo.
Dělení se zbytkem
V minulé kapitole jsme si řekli, že přirozená čísla nejsou uzavřená vůči dělení. Nicméně můžeme nadefinovat operaci dělení se zbytkem, což jistě všichni znáte. Pokud vydělíme 7/2, dostaneme 3,5. Pokud použijeme dělení se zbytkem, získáme výsledek 3 a zbytek 1. Tedy pokud vynásobíme 3 · 2 a přičteme zbytek, získáme zpátky 7: 3 · 2 + 1 = 7.
Přirozená čísla sice nejsou pak uzavřená vůči této operaci, ale přirozená čísla včetně nuly už ano. Tedy jak výsledek, tak zbytek bude obsažen v množině ℕ0.
Definice dělení se zbytkem vypadá takto:
$$a=bq+r; \qquad a, q, r\in\mathbb{N}_0, b\in\mathbb{N}, r < b$$
V definici jsme dělili a:b, číslo r se nazývá zbytek po dělení a q výsledek dělení. Co znamenjaí podmínky? Předpokládáme, že se pohybujeme v přirozených číslech včetně nuly, ale protože nemůžeme dělit nulou, tak vybíráme b z množiny bez nuly.
Takže pro příklad, pro výpočet 19:5 by platilo: a = 19 a b = 5. Rozklad by vypadal takto:
$$19=5\cdot3+4$$
Tedy q = 3, to je výsledek po dělení a r = 4, to je zbytek.