Povrch jehlanu

Jehlan je trojrozměrné těleso, které vypadá jako pyramida. Má podstavu či základnu, na které stojí a poté má několik trojúhelníkových stěn. Podstavu tvoří nějaký mnohoúhelník. Podívejme se, jak takový jehlan může vypadat:

Pravidelný čtyřboký jehlan

Toto je pravidelný čtyřboký jehlan. Pravidelný je proto, že jeho podstavu tvoří pravidelný mnohoúhelník a čtyřboký je proto, že podstava je tvořena čtyřúhelníkem — v tomto případě čtvercem (trochu přimhuřte oko, abyste tam ten čtverec viděli 😆) — a tím pádem má jehlan čtyři trojúhelníkové stěny. Povrch jehlanu spočítáme tak, že vypočítáme obsah podstavy a obsah stěn. Začneme obsahem podstavy:

Protože jsme si řekli, že podstavu tvoří pravidelný čtyřstěn — jinak řečeno čtverec — použijeme vzorec pro výpočet obsahu čtverce:

$$\Large S_\square=a^2$$

To šlo snadno. Teď přijde ta horší část — obsah trojúhelníkové stěny. Pojďme si spočítat obsah stěny ABF:

Stěna ABF je tvořena trojúhelníkem a ne ledajakým — rovnoramenným trojúhelníkem:

Abych vypočítali obsah rovnoramenného trojúhelníku, potřebujeme znát výšku trojúhelníku. Ve chvíli, kdy známe výšku v rovnoramenného trojúhelníku, můžeme vypočítat jeho obsah jako

$$\Large S_\triangle=\frac{a\cdot v}{2}$$

Toto je tedy obsah jedné stěny našeho čtyřbokého jehlanu. Obsah všech čtyřech stěn bude roven

$$\Large S_{4\triangle}=4\cdot\frac{a\cdot v}{2}=2\cdot a\cdot v$$.

Nyní můžeme spočítat obsah celého jehlanu, sečteme obsahy podstavy a stěn:

$$\Large S=S_\square+S_{4\triangle}=a^2+2\cdot a\cdot v$$

Obsah pravidelného n-bokého jehlanu

Jehlan samozřejmě nemusí být pouze čtyřboký, může být třeba šestiboký:

Jak bychom vypočetl obsah takového jehlanu? Obsah jedné stěny vypočteme stále stejně jako

$$\Large S_\triangle=\frac{a\cdot v}{2}$$

Ale protože nemáme čtyři stěny, ale šest stěn, budeme tento obsah násobit šesti. Máme-li n-boký jehlan, budeme násobit n:

$$\Large S_{n\triangle}=n\cdot\frac{a\cdot v}{2}$$

Obsah podstavy poté vypočteme podle vzorce pro výpočet obsahu pravidelného n-stěnu:

$$\Large S_{n\diamond}=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

kde a je délka hrany a r je vzdálenost středu mnohoúhelníku od vrcholu mnohoúhelníku. Celý vzorec by vypadal takto:

$$\Large S = n\cdot\frac{a\cdot v}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

To můžeme ještě zjednodušit na

$$\Large S = n\cdot\left(\frac{a\cdot v+a\cdot r}{2}\right)$$

A dále na

$$\Large S = n\cdot a\cdot\frac{v+r}{2}$$