Posloupnosti

Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel. Posloupnost může být buď nekonečná pokud je jejím definičním oborem celá množina přirozených čísel, nebo konečná, pokud je jejím definičním oborem pouze konečná podmnožina z oboru přirozených čísel. Pokud se výhradně neřekne, že se jedná o posloupnost konečnou, předpokládá se posloupnost nekonečná.

Definice posloupnosti

Tato kapitola alespoň trochu popisuje význam definice posloupnost, není nezbytně nutné ji znát, můžete celou kapitolu přeskočit, chcete-li.

Úvod už prozradil, že se jedná o funkci, která má za definiční obor přirozená čísla. Oborem hodnot pak může být libovolná množina, ale zde budeme předpokládat množinu reálných čísel. Co to znamená? Nejvíce viditelná změna nastane u grafu funkce, protože se nebude jednat o spojitou čáru, jak bývá často zvykem u běžných funkcí, ale budou tam pouze roztroušené jednotlivé izolované body posloupnosti.

Posloupností může být například řada čísel 1, 3, 5, 7, 9, 11, … To je asi poměrně jasně definovaná posloupnost a každému by bylo být jasné, jak pokračuje. Protože se jedná o funkci, pak by tabulka zobrazení této posloupnosti vypadala takto:

$$\begin{eqnarray} 1&\rightarrow&1\\ 2&\rightarrow&3\\ 3&\rightarrow&5\\ 4&\rightarrow&7\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Čísla v prvním sloupci (hodnoty z definičního oboru) tak udávají pořadí daného čísla v posloupnosti. Například v naší jednoduché posloupnosti je číslo pět na třetí pozici. Což nám přesně říká i tabulka. Na čtvrté pozici v posloupnosti je číslo sedm, na prvním jednička a tak dále. Z tohoto také vyplývá, že definičním oborem konečné posloupnosti p by měla být nějaká množina ve tvaru

$$D(p)=\left\{1, 2, 3, \ldots, n\right\},$$

aby se opravdu jednalo o pořadí a žádná pozice nebyla vynechána. Například tato množina

$$D(p)=\left\{1{,}2,3{,}5,7\right\}$$

se nehodí na definiční obor posloupnosti, protože jí chybí čtvrtý a šestý prvek.

Posloupnost se tak vyjadřuje tím, že její prvky jdou nějak uspořádat, že každý prvek posloupnosti, kromě prvního a posledního, má svého předchůdce a svého následovníka. To je obrovský rozdíl oproti reálným funkcí, kde nic takového neplatí. pokud bychom si vzali funkci f(x) = 2x, tak jaká hodnota následuje po f(5/2)? Nevíme, výsledkem je reálné číslo a reálná čísla nemají následovníka.

Zápis posloupnosti

Už víme, že — zjednodušeně řečeno — posloupnost je očíslovaná řada čísel. Teď jak můžeme posloupnost zapisovat. Samotnou posloupnost obvykle pojmenováváme malým písmenem s dolním indexem, například a_i.

Prvním způsobem je výčet všechny hodnot posloupnosti. S tím jsme se už setkali v předchozí kapitole. Výčet může být konečný i nekonečný:

$$\begin{eqnarray} a_k&=&(1{,}2,3{,}4,5)\\ a_n&=&(2{,}4,6{,}8,10,\ldots) \end{eqnarray}$$

Poznámka: nejsem si jistý, jaké závorky se běžně pro posloupnosti používají, nenašel jsem jednotné konvence. Asi bych nepoužíval složené závorky, protože ty značí množiny, u kterých nezáleží na pořadí, zatímco u posloupností záleží na pořadí členů.

Druhou možností je vzorec pro n-tý člen posloupnosti. Například množina a_n obsahovala všechna sudá čísla. To bychom mohli vzorcem vyjádřit takto

$$a_n=2n.$$

Dolní index n nám určuje, kolikátý prvek posloupnosti zrovna počítáme. Takže pokud chceme znát první prvek, pak chceme znát prvek a₁, pokud sedmý, tak a₇. Sedmý prvek bychom pak vypočítali dosazením do předpisu.

$$a_7=2\cdot7=14$$

Tento zápis je výhodný, protože umožňuje okamžitě vypočítat libovolný prvek posloupnosti. Další možností je zápis pomocí rekurentní definice. Rekurentní definice nám umožňuje vypočítat následující člen, pokud známe ten současný. Neboli pokud známe prvek a_n, umožňuje nám spočítat prvek a_{n + 1}.

Pokud chceme zadat posloupnost rekurentně, musíme udat dvě informace: jaký prvek je první a předpis pro vypočítání (n + 1). prvku. Pokud bychom chtěli množinu sudých přirozených čísel zadat rekurentně, mohli bychom to udělat takto:

$$a_1=2;\quad a_{n+1}=a_n+2$$

Jak by se teď počítalo? Víme, že a₁ je rovno dvěma. Nyní si za n dosadíme jedničku a tím pádem a₂ vypočteme tak, že k a₁ přičteme dvojku. Dostáváme čtyři, druhé sudé číslo. A tak dále.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Zápis pomocí rekurentní definice se hodí v případě, kdy potřebujeme vygenerovat nějakou větší část posloupnosti. Naopak se nehodí, když chceme vypočítat nějaký konkrétní prvek, protože abychom vypočítali sté sudé číslo, musíme nejdříve vypočítat všech 99 sudých čísel, které stému sudému číslu předcházejí.

Poslední možností je zadat posloupnost pomocí grafu.

Ještě pro ujasnění: posloupnost nemusí mít nutně nějaký jednoduchý předpis, nemusí to být „rozumná“ řada čísel. I tato řada čísel je posloupnost, přestože nemá na první pohled žádný hlubší smysl:

$$a_i=(-5, \frac73, \pi, \pi, \pi, 13, 10^6+54, \log_354, 0)$$

Graf posloupnosti

Posloupnosti mají odlišné grafy od běžných reálných funkcí. Protože mají jako definiční obor přirozená čísla, jejich graf je tvořen izolovanými body.

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost je jednoduchá posloupnost, kdy je mezi jednotlivými členy posloupnosti stálý rozdíl. Každý následující prvek je například větší o tři či třeba menší o sedmnáct. Rozdíl, o kolik je jednotlivé prvky posloupnosti odlišují, se nazývá diference (značíme d). V prvním případě by byla diference tři, v druhém mínus sedmnáct a v případě posloupnosti sudých čísel by byla diference dva. Vzorcem by se tedy aritmetická posloupnost dala zapsat takto:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Obecný vzorec pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti je poté

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Takže pro příklad si vezmeme opět sudá čísla, kde je diference dva a první sudé číslo je také dvojka. Pak platí, druhé sudé číslo získáme tak, že k prvnímu přičteme dvojku. Pokud ještě jednou přičteme dvojku, získáme třetí sudé číslo.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Pokud bychom chtěli vypočítat třeba sedmé sudé číslo, dosadili bychom do obecného vzorce takto:

$$a_n=a_1+(n-1)d\rightarrow a_7=2+(7-1)\cdot2=2+12=14$$

Jak zjistit, jestli je daná posloupnost aritmetická? Odečteme vzorec pro n-tý člen od vzorce pro (n + 1). člen a pokud získáme diferenci, jedná se o aritmetickou posloupnost. Takže například mějme posloupnost

$$a_n=2n+7.$$

Je tato posloupnost aritmetická? Začneme tím, že si vyjádříme (n + 1). člen:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Teď tyto dva výrazy od sebe odečteme:

$$\begin{eqnarray} d&=&(2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d&=&2n+2+7-2n-7\\ d&=&2n-2n+7-7+2\\ d&=&2 \end{eqnarray}$$

Vidíme, že po odečtení jsme získali d = 2, takže se jedná o aritmetickou posloupnost s diferencí dva.

Součet členů aritmetické posloupnosti

Často potřebujeme zjistit součet několika první členů aritmetické posloupnosti. Jak bychom to provedli? Intuitivně asi nějak takto. Budeme se držet sudých čísel. Jaký je součet prvních třech sudých čísel? Tedy čísel 2, 4 a 6. Můžeme to samozřejmě postupně sečíst, ale to nechceme, chceme vzorec.

Upravíme posloupnost takto, k prvnímu prvku přičteme dva a od posledního dvojku odečteme. Dostaneme 4, 4, 4. Vidíme, že máme tři stejná čísla, takže stačí vynásobit čtyřku počtem členů, tedy trojkou. Tedy 4 · 3 = 12.

Při pěti prvcích by to vypadalo takto: 2, 4, 6, 8, 10. Ke krajním prvkům přičteme a odečteme čtyřku, k předposledním dvojku.

$$\begin{eqnarray} a_i&=&(2+4), (4+2), 6, (8-2), (10-4)\\ a_i&=&6{,}6,6{,}6,6 \end{eqnarray}$$

Opět už stačí pouze vynásobit 6 · 5 = 30. Co vidíme? Násobíme vždy počet členů posloupnosti prostředním členem posloupnosti. V posloupnosti 2, 4, 6 byla uprostřed čtyřka a v posloupnosti 2, 4, 6, 8, 10 byla uprostřed 6. Jak vypočítat obecně prostřední prvek (označme p)? Vypočítáme to jako průměr prvního a posledního členu posloupnosti, tedy

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Například u té druhé posloupnosti

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Výsledný vzorec na součet prvních q členů posloupnosti a_n by vypadal takto:

$$S_q=q\cdot\frac{a_1+a_q}{2}$$

Vzorec platí i pro sudý počet prvků, přestože v odvození jsme používali jen lichý počet prvků.

Jak vypočítat diferenci

Jak vypočítat diferenci, pokud znáte dva členy posloupnosti. Zůstaňme u sudých čísel. Dejme tomu, že známe tyto dva členy posloupnosti

$$a_3=6,\quad a_7=14.$$

Jak vypočítáme diferenci? Jako první si vypočítáme rozdíl mezi těmito dvěma prvky:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Teď už jen stačí tento výsledek vydělit počtem prvků, které se nachází mezi dvěma prvky, které známe:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Diference je dva. Výsledný vzorec pro výpočet diference d, pokud známe prvky posloupnosti a_k a a_l:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Graf aritmetické posloupnosti vykazuje konstatní růst nebo konstatní klesání — izolované body v grafu leží na jedné přímce.

Geometrická posloupnost

Geometrická posloupnost se od předchozí aritmetické liší tím, že dva sousední členy nemají stejný rozdíl, nýbrž podíl. Tomuto podílu se poté neříká diference jako v případě aritmetické posloupnosti, ale kvocient (značíme q). Například bychom mohli mít posloupnost, kde q = 10 a první prvek by byl 5:

$$\begin{eqnarray} a_1&=&5\\ a_2&=&a_1\cdot10\quad(=50)\\ a_3&=&a_2\cdot10\quad(=500)\\ a_4&=&a_3\cdot10\quad(=5000)\\ \end{eqnarray}$$

Obecně tak platí vzorec:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

Vzorec pro obecný člen geometrické posloupnosti by vypadal takto:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Například třetí prvek předchozí posloupnosti bychom spočítali takto:

$$\begin{eqnarray} a_3&=&a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3&=&5\cdot q^2\\ a_3&=&5\cdot10^2\\ a_3&=&500 \end{eqnarray}$$

Geometrické posloupnosti můžeme ještě rozdělit do dalších dvou skupin a sice podle toho, jaký mají kvocient. Pokud totiž bude absolutní hodnota kvocientu menší než jedna, bude celá posloupnost klesat k nule. Takováto posloupnost se tedy nazývá konvergentní. Naopak pokud bude absolutní hodnota kvocientu větší než jedna, bude posloupnost chvátat k nekonečnu a říká se jí divergentní posloupnost. Pro konvergentní posloupnost poté platí jednoduchý vzorec pro součet celé řady (platí pouze pro konvergentní, protože divergentní se blíží k nekonečnu a tak její součet je nekonečno):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Vzorec pro výpočet součtu prvních i prvků geometrické posloupnosti a_n:

$$S_i=a_1\cdot\frac{q^i-1}{q-1}$$

Odvození vzorce si můžete přečíst na Wikipedii.

Grafem geometrické posloupnosti, kromě případu, kdy je kvocient rovný jedné nebo nule, je množina izolovaných bodů, která neleží na jedné přímce. Typický graf geometrické psoloupnosti vypadá takto:

Bude-li kvocient záporný, bude mít graf dvě větve: