Trojúhelník

Trojúhelník je geometrický útvar, který je tvořen třemi vrcholy, které jsou spojeny třemi úsečkami.

Popis

Prohlédněte si následující obrázek: Na obrázku je vidět trojúhelník, který je tvořen vrcholy A, B a C; jedná se tak o trojúhelník ABC. Najdeme zde tři strany: AB, BC, AC. Dále si všimněte, že tyto strany jsou ještě navíc pojmenovány malými písmeny. Toto pojmenování má své pravidlo — naproti vrcholu A máme stranu a. Naproti vrcholu B je strana b a naproti vrcholu C je strana c. Po daném vrcholu je tak vždy pojmenována protější strana; ta strana, která není tvořena daným vrcholem.

Každý trojúhelník má tři vnitřní úhly, které obvykle označujeme řeckými písmeny alfa α, beta β a gama γ. Součet všech tří vnitřních úhlů musí vždy dát 180 stupňů.

Trojúhelník nemá žádné úhlopříčky, ale má těžnice a výšky.

Trojúhelníková nerovnost

Trojúhelníková nerovnost je důležitý vztah, který v trojúhelníku platí. Platí, že součet délek dvou libovolných stran je vždy větší než délka třetí, zbývající strany. Když to zapíšeme:

$$\begin{eqnarray} |a|+|b|&>&|c|\\ |a|+|c|&>&|b|\\ |b|+|c|&>&|a| \end{eqnarray}$$

Co by se stalo, kdyby tato nerovnost neplatila? Tj. pokud platilo, že jedna strana je delší než zbývající dvě v součtu? Nemohl by vzniknout trojúhelník, protože ty dvě strany budou příliš krátké a „nedosáhnou na sebe“.

Pokud by tam platila rovnost, tj. dvě strana by byly v součtu stejně dlouhé jako třetí, strana, pak by při pokusu narýsovat trojúhelník by všechny body ležely na jedné přímce:

Trojúhelníková nerovnost se používá i při definicích jiných pojmů, často nějak souvisejících se vzdáleností, kde je tento princip nejpřirozenější. Pokud se budeme bavit o vzdálenostech v reálném světě, tak jistě platí, že přímá cesta (vzdušnou čarou) z Prahy do Brna je určitě kratší než cesta z Prahy do Liberce a pak z Liberce do Brna.

Druhy trojúhelníků

U trojúhelníků rozeznáváme několik různých druhů, z pravidla v závislosti na délkách stran a úhlech.

• Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé. Zároveň platí, že všechny vnitřní úhly mají velikost 60 stupňů.
• Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany stejně dlouhé a třetí strana má délku jinou. Těm stranám, které jsou stejně dlouhé, se říká ramena, třetí straně se říká základna. Úhel, který svírají ramena takového trojúhelníku se základnou, je vždy shodný.
• Ostroúhlý trojúhelník má každý vnitřní úhel ostrý, tj. menší než 90 stupňů.
• Pravoúhlý trojúhelník má právě jeden úhel pravý, tj. o velikosti 90 stupňů. Trojúhelník nemůže mít dva pravé úhly, protože součet vnitřních úhlů je roven 180 — třetí úhel by pak musel mít velikost nula, což není možné. V pravoúhlém trojúhelníku platí slavná Pythagorova věta. Pro další informace si přečtěte samostatný článek o pravoúhlém trojúhelníku.
• Tupoúhlý trojúhelník má právě jeden úhel, jeho velikost je větší než 90 stupňů. Opět pozor na to, že trojúhelník nemůže mít dva úhly větší než 90 stupňů, takže zbývající dva úhly musí být nutně ostré, tj. menší než 90 stupňů.