Podmíněná pravděpodobnost

Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Klasickou úlohou na podmíněnou pravděpodobnost tak může být následující příklad: házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že když na jedné z kostek padne trojka, tak celkový součet bude rovný sedmi?

Odvození vzorce

Mějme nějaký náhodný pokus (např. hod kostkami) a dva různé jevy A a B takové, že P(B) ≠ 0, tj. jev B není nemožný. Potom můžeme mluvit o podmíněné pravděpodobnosti, pokud se ptáme, jaká je pravděpodobnost jevu A, pokud nastal jev B? Značíme P(A|B).

Zkusíme postupně dojít ke vzorci, kterým budeme podmíněnou pravděpodobnost počítat. Pro jednoduchost si představme čtyřstěnnou hrací kostku, tj. kostku, na které mohou padnout jen čísla 1, 2, 3 nebo 4. Zkusíme vyřešit úlohu: když hodíme dvěma čtyřstěnnými kostkami, jaká je pravděpodobnost, že součet hodnot bude rovný šesti, pokud na jedné z kostek padlo číslo menší než tři?

Začneme tím, že si vypíšeme, jaké všechny možnosti můžeme u dvou čtyřstěnných kostek dostat. Je jich celkem 4 · 4 = 16.

$$\begin{eqnarray} &&[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], \\ &&[2, 1], [2, 2], [2, 3], [2, 4], \\ &&[3, 1], [3, 2], [3, 3], [3, 4], \\ &&[4, 1], [4, 2], [4, 3], [4, 4] \end{eqnarray}$$

Jak vypadají jevy A a B? Jev A je: „součet hodnot na kostkách je roven šesti“ a jev B je: „na jedné z kostek padlo číslo menší než tři“. A nás zajímá podmíněná pravděpodobnost P(A|B) — jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A, když víme, že nastal jev B. Jako první si z předchozí tabulky vyfiltrujeme jen ty dvojice, které jsou zároveň jevem B, tj. alespoň jedno číslo ve dvojici je menší než tři. Dostáváme:

$$\begin{eqnarray} &B=&[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], \\ &&[2, 1], [2, 2], [2, 3], [2, 4], \\ &&[3, 1], [3, 2], \\ &&[4, 1], [4, 2] \end{eqnarray}$$

Toto v podstatě můžeme vidět jako množinu všech možných výsledků. Fakticky vzato nám můžou na kostkách padnout dvě čtyřky, ale my tou dodatečnou podmínkou B říkáme, že takový výsledek nás nezajímá — zajímají nás jen ty výsledky, kde alespoň na jedné kostce padlo číslo menší než tři.

A nyní se ptáme — nyní už se jen ptáme, jaká je pravděpodobnost, že nastal jev A, pokud je množina všech jevů rovná množině B? Nic jiného podmíněná pravděpodobnost neříká. Takže v této množině B nalezneme ty dvojice, které dávají součet šest:

$$ [2, 4], [4, 2] $$

Jak bychom nyní spočítali pravděpodobnost? Máme celkem 2 příznivé výsledky a množina všech výsledků je rovná velikosti množiny B, tedy 12. Podmíněná pravděpodobnost je tak rovna

$$ P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac16 $$

A teď jde o to, jak to zobecnit. My jsme řekli, že jako množinu všech možných řešení můžeme vidět množinu B. Jak by vypadala množina všech příznivých výsledků? Byla by to množina těch výsledků, které jsou v A (to je ten jev, který nás zajímá), ale zároveň jsou v B (to je podmínka, která nás omezuje). Jinými slovy: existuje ještě jedna možnost, jak mohou dvě čtyřstěnné kostky dát součet 6: když na obou padne trojka. Ale to by v našem případě neprošlo podmínkou B: alespoň jedna číslo je menší než tři. Proto tento výsledek nezahrneme do příznivých řešení. Množina příznivých řešení je tak rovna: A ∩ B, průnik obou jevů. Když to poskládáme dohromady, tak získáme vzorec:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}. $$

Na vzorci vidíme, proč jsme předpokládali, že P(B) ≠ 0; pokud by tato podmínka splněna nebyla, dělili bychom nulou, čímž bychom mohli vytvořit černou díru.

Předchozí vzorech platí, pokud se bavíme o klasické definici pravděpodobnosti, kdy mají všechny elementární jevy stejnou pravděpodobnost výskytu. Vzorec můžeme přepsat do obecnějšího tvaru:

$$ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}. $$

Řešené příklady

1. Házíme dvěma kostkami, černou a bílou. Jaká je pravděpodobnost, že na bílé kostce padla čtyřka, pokud je součet obou hodnot roven sedmi? Rozepíšeme si to: jev A: „na bílé kostce padla čtyřka“, jev B (podmínka): „součet je roven sedmi“. Jev B obsahuje všechny dvojice hodnot, které dávají v součtu 7, tj. B = {[1, 6], [2, 5], [3, 4], [4, 3], [5, 2], [6, 1]}. Nyní spočítáme A ∩ B, tj. pro které dvojice z B platí, že jsou zároveň v A, neboli že na bílé kostce padla čtyřka? Předpokládejme, že hodnoty jsou ve tvaru [černá, bílá], takže jediná dvojice, která patří do A ∩ B je [3, 4]. Nyní už jen dosadíme do vzorce:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac16. $$