Orientovaný úhel

Ramena úhlu nám rozdělují rovinu na dva neorientované úhly, na jeden větší a na jeden menší (pokud nejsou stejné). Abychom věděli, o jakém úhlu mluvíme, zavádíme pojem orientovaný úhel.

Proč zavádět orientovaný úhel

Podívejte se na následující obrázek, kde je vyznačen úhel AVB.

Otázkou nyní je, který z úhlů máme na mysli. Intuitivně jste asi předpokládali, že myslím ten menší úhel, nicméně klidně bych mohl mluvit o tom větším úhlu. Dva různé úhly tvořené ze dvou stejných polopřímek zobrazuje následující obrázek:

Bez nějaké další informace nejsme schopni specifikovat, zda pod označením úhel AVB myslíme úhel alfa nebo beta. Abychom se domluvili, o jakém úhlu vlastně mluvíme, vznikl tak pojem orientovaný úhel.

Kladný a záporný směr

Orientovaný úhel nám tak pomáhá specifikovat, který úhel myslíme. K tomu potřebujeme definovat dvě věci. Je nutné uvádět ve správném pořadí ramena úhlu. Chápeme tak rozdíl mezi úhlem AVB a BVA, přestože ramena úhlů jsou stejná — polopřímky VA a VB. Pokud máme úhel AVB, polopřímka VA se nazývá počáteční rameno orientovaného úhlu a polopřímka VB koncové rameno orientovaného úhlu. Společný bod V se nazývá vrchol orientovaného úhlu.

Dobrá, už víme, že záleží na pořadí ramen úhlu. Pořád ale nevíme, jakým směrem se vydat, pokud chceme získat úhel AVB. Úhel AVB totiž mohl vzniknout dvěma směry, jak ukazuje následující obrázek:

Startovní rameno úhlu je polopřímka AB. Odtud můžeme vést úhel dvěma směry, na obrázku znázorněno zelenou šipkou a červenými šipkami. Směry můžeme pojmenovat klasicky podle hodinových ručiček: zelený směr je proti směru hodinových ručiček a červený po směru hodinových ručiček.

V matematice ale pro tyto směry používáme jiné značení, jde o kladný a záporný směr. Kladný směr odpovídá zelené šipce, tedy směru proti pohybu hodinových ručiček. Záporný směr odpovídá červené šipce, jde o tak směr po směru pohybu hodinových ručiček.

Přehledně to zobrazuje následující obrázek:

Co je to orientovaný úhel

Orientovaný úhel jako takový je uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem. Orientovaný úhel bychom tak mohli zapisovat jako dvojici polopřímek, například takto:

$$\left<\overrightarrow{VA}, \overrightarrow{VB}\right>,$$

kratší zápis je ovšem tento: $\widehat{AVB}$. Dále platí, že pokud jsou polopřímky VA a VB různé, pak jsou i úhly $\widehat{AVB}$ a $\widehat{BVA}$ různé.

Nyní zadefinujeme základní velikost orientovaného úhlu. Základní velikost orientovaného $\widehat{AVB}$ je rovna velikosti neorientovaného úhlu, který vznikne otočením počátečního ramene VA do polohy koncového ramene VB v kladném směru, tj. proti směru pohybu hodinových ručiček.

Velikost základního úhlu je vždy z intervalu $\left<0^\circ, 360^\circ\right)$. Všimněte si prosím, že interval je zprava otevřený. Základní úhel nemůže být roven 360 stupňům. Tento úhel totiž splývá s úhlem o velikost nula stupňů, proto místo 360 stupňů píšeme nula stupňů. Pokud se pohybujeme v obloukové míře, pak je úhel z intervalu <0,2π).

Kromě základní velikosti máme také pouze velikost orientovaného úhlu. Definuje se stejně, pouze tato velikost může být větší než základní velikost. Protože pokud vytváříme úhel a otočíme se o celé kolečko a dále pohybujeme s počátečním ramenem, můžeme tak vytvořit úhel o velikosti větší než 360 stupňů. Pokud se otočíme o jedno a půl kolečko, dostaneme úhel o velikosti 360 + 180 = 540 stupňů. Toto je platná velikost orientovaného úhlu. Nicméně tento úhel je identický s úhlem o velikosti 180 stupňů.

Každou takovou velikost orientovaného úhlu můžeme lehce převést na základní velikost, když velikost celočíselně vydělíme 360 a zbytek po dělení vezmeme jako základní velikost. Zkusíme si tak převést oněch 540 stupňů převést do základní velikosti:

$$540 : 360 = 1\quad (\mbox{zbytek } 180)$$

Podobně pro ostatní velikost. Například pro úhly o velikosti 750, 1080 a 2000 stupňů dostáváme:

$$\begin{eqnarray} 750 : 360 = 2&\quad& (\mbox{zbytek } 30)\\ 1080 : 360 = 3&\quad& (\mbox{zbytek } 0)\\ 2000 : 360 = 5&\quad& (\mbox{zbytek } 200) \end{eqnarray}$$

Úhly mají základní velikost 30, 0 a 200 stupňů. Pokud počítáme v radiánech, dělíme výrazem 2π.