Násobení záporných čísel

Záporná čísla mohou být trochu neintuitivní, obzvlášť, když přijde na řadu jejich součin.

Jak si představit záporná čísla

V běžném životě se se zápornými čísly úplně běžně nesetkáváme. Asi málokdo řekne „hele, babi, podívej — támhle na kopci je minus osm krav!“ O to hůř se vysvětluje násobení záporných čísel.

Existuje ale nejméně jeden případ, kdy jsou záporná čísla všem jasná: domácí rozpočet, jeho příjmy a výdaje. Když se například podíváte na svůj bankovní účet, tak tam uvidíte položky jako:

• +15 000 Kč: výplata mzdy
• −1 753 Kč: nákup v hypermarketu
• −980 Kč: nákup žvýkaček na celý rok
• +2500 Kč: státní příspěvek na dobrou náladu
• −8000 Kč: nájem

Pokud získáte nějaké peníze, tak je u částky znaménko plus, pokud nějaké peníze utratíte, je tam znaménko minus — protože tyto utracené peníze odečítáte od svého zůstatku.

Záporná čísla si tak můžeme představit jako nějakou útratu. Pokud nám přibylo tisíc korun, napíšeme to jako +1000, pokud jsme utratili pět tisíc, napíšeme to jako −5000. Nemusí to být pouze peníze, pokud si z košíme vezmeme šest žvýkaček, můžeme to označit jako −6.

Násobení záporného čísla kladným

Jaký tak bude výsledek součinu 7 · (−20)? V podstatě jde o to, jaké znaménko bude výsledek mít. Asi je jasné, že výsledek bude buď 140, nebo −140. Jak si zdůvodnit správný postup?

Představme si, že jeden balíček žvýkaček stojí 20 Kč a my jich koupíme 7. Nyní se ptáme, kolik jsme celkem utratili za těchto sedm žvýkaček peněz. To je jasné, utratili jsme 7 · 20 = 140 Kč.

Ale protože to jsou peníze, které jsme opravdu utratili, nezískali jsme je, tak tam přidáme znaménko minus. Kdybychom nechali výsledek 140, znamenalo by to, že je to náš příjem, ale ona je to naše útrata: proto je výsledek 7 · (−20) = −140.

Můžeme to opět převést na sčítání: představme si, že jsme koupili jen dvoje žvýkačky. Obě stály dvacet korun, takže v našem účetnictví by bylo

• −20 Kč: žvýkačky
• −20 Kč: žvýkačky

To můžeme přepsat na 2 · (−20), anebo můžeme ty útraty sečíst: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Pak už můžeme napsat jednoduše:

• −40 Kč: dvoje žvýkačky

Ve chvíli, kdy násobíme kladné číslo záporným (nebo záporné kladným, to je jedno), tak si to můžeme představit tak, že záporná část představuje nějakou útratu a kladné číslo představuje počet těch útrat. A protože sčítáme útraty, tak výsledek musí být také záporný.

Algebraické zdůvodnění

Že násobení kladného a záporného čísla dává číslo záporné lze zdůvodnit i algebraicky. Zkusme si vypočítat tento příklad: 5 · (4 − 4). Zřejmě je výsledkem nula, protože 4 − 4 = 0 a 5 · 0 = 0. Nicméně pokud známe vytýkání a roznásobení závorek, můžeme předchozí příklad přepsat i takto:

$$ 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Přepsali jsme výraz na jiný, ale ekvivalentní. Levá strana rovnice se stále musí rovnat nule, protože původní výraz 5 · (4 − 4) byl také roven nule. Nyní vynásobíme 5 · 4 = 20:

$$ 20 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Teď už nám tam pouze zbývá výraz 5 · (−4). Jenomže aby zůstala platná rovnice, čemu se tento výraz musí rovnat? Jaké číslo musíme přičíst k číslu 20, abychom získali nulu? Je to číslo −20. Jediným možným výsledek výrazu 5 · (−4) je tak číslo −20. Opět tak vidíme, že součin kladného a záporného čísla dává záporné číslo.

Součin dvou záporných čísel

Součin dvou záporných čísel nám dá číslo kladné. Na první pohled to může působit zvláštně, ale je to vcelku pochopitelné. Ono to tak funguje i v řeči, pokud použijete dvojitý zápor: v oznámení „nebudeme neslušní“ máme dva zápory, přitom nám ta věta říká totéž jako věta „budeme slušní“. (Zde ale předpokládáme, že můžeme být pouze slušní, nebo neslušní. Teoreticky bychom nemuseli být to, ani to.)

Lehké zdůvodnění naleznene v další části s pohybem pána s kufříkem. Teď ještě následuje přehledná tabulka se vztahy kladných a záporných čísel vzhledem k součinu:

$$\begin{eqnarray} \mbox{kladne} \cdot \mbox{kladne} &=& \mbox{kladne}\\ \mbox{kladne} \cdot \mbox{zaporne} &=& \mbox{zaporne}\\ \mbox{zaporne} \cdot \mbox{kladne} &=& \mbox{zaporne}\\ \mbox{zaporne} \cdot \mbox{zaporne} &=& \mbox{kladne}\\ \end{eqnarray}$$

Zdůvodnění pohybem

Součin se zápornými činiteli lze hezky vysvětlit na pohybu. Představme si, že stojíme na počátku číselné osy. Asi nějak takto:

Dále mějme součin dvou čísel, třeba 2 · 3. Tento součin budeme ukazovat na číselné ose jako pohyb toho pána s kufříkem. Přitom první číslo bude představovat délku kroku a druhé číslo počet kroků, které pán udělá, takže to můžeme vidět jako součin delka kroku · počet kroků.

Přitom ale budeme brát v potaz i záporná čísla. Pokud je délka kroku kladná, jde pán normálně dopředu, ale pokud je délka kroku záporná, jde pozpátku. Pokud je počet kroků kladný, je pán otočený doprava (jako na obrázku nahoře), pokud je záporný, je otočený doleva.

Na jaké číslo pán s kufříkem dojde, takový je výsledek součinu daných čísel. Podívejme se, jak to dopadne pro všechny kombinace kladných a záporných čísel.

Pro součin 2 · 3 je pán otočený doprava a jde dopředu. Udělá tak tři kroky o délce dva čtverečky dopředu.

Pán s kufříkem dojde na číslo 6, výsledek je tak 2 · 3 = 6.

Nyní zkusíme součin −2 · 3. První číslo je záporné, což znamená, že teď půjde pán pozpátku. Přitom ale druhé číslo je kladné, takže se bude dívat doprava. Takže pán kouká doprava a udělá tři kroky pozpátku:

Vidíme, že pán s kufříkem došel na číslo −6, což sedí s tím, že −2 · 3 = −6.

Dále zkusíme 2 · (−3). První číslo je kladné, takže pán půjde dopředu. Ale druhé číslo je záporné, takže pán bude otočený doleva. Pán se bude dívat doleva a udělá tři kroky dopředu:

Pán opět přišel na číslo −6, což souhlasí s tím, že 2 · (−3) = −6. Je vidět, že je jedno, jestli je pán otočí doleva a jde dopředu, nebo jestli je otočený doprava a jde pozpátku — v obou případech dojde do záporných čísel.

Naposledy pošleme pána vypočítat −2 · (−3), takže do otočíme doleva a necháme ho jít pozpátku tři kroky:

Pán, možná trochu překvapivě, došel na číslo 6. Můžeme tak říci, že −2 · (−3) = 6, součin dvou záporných čísel je roven kladnému číslu.