Násobení na papíře

Jak vynásobit dvě čísla jen pomocí tužky a papíru.

Postup násobení na papíře

Začneme lehkým příkladem, komplexnější příklad je na konci článku. Na začátku předpokládáme, že máme dvě čísla, která chceme vynásobit. Budeme zatím pracovat jen s přirozenými čísly. Dejme tomu, že chceme vynásobit čísla 13 · 72. Tato čísla si napíšeme pod sebe a přidáme pod ně čáru:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline \end{array} $$

Začneme násobit poslední číslici (na místě jednotek) ve spodním čísle se všemi číslicemi v horním čísle. Začínáme opět zprava, takže jako první násobíme 2 · 3 = 6. Výsledek napíšeme přímo pod číslici 2. Dále násobíme číslici 2 s druhou číslicí zprava, takže násobíme 2 · 1 = 2. Tento výsledek napíšeme přímo pod 7:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline &26 \end{array} $$

Posuneme se ve spodním čísle o jednu číslici doleva, dostaneme se k číslici 7, a provedeme stejný postup. Protože jsme se ale posunuli o řád (sedmička představuje desítky, zatímco dvojka jednotky), musíme se posunout o řád i pod čarou. Vpravo dolů, pod šestku, napíšeme nulu. Dále už pokračujeme stejně.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &&0 \end{array} $$

Násobíme tak 7 · 3 = 21. Tady nastává zrada — připsat můžeme pouze jednu číslici, nemůžeme tam napsat 21 — to jsou dvě číslice. Vyřešíme to tak, že číslo rozdělíme na dvě číslice: tu pravou, tj. 1, napíšeme na papír a tu levou číslici, tj. 2, si zapamatujeme do dalšího kola. Takže: 1 píšeme na papír, 2 si pamatujeme. Píšeme ji hned vedle nuly.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &1&0 \end{array} $$

Dále násobíme číslici 7 s číslici 1 v horním čísle: 7 · 1 = 7. Teď přichází na řadu naše číslice 2, kterou jsme si zapamatovali: přičteme ji k tomuto výsledku: 7 + 2 = 9. Toto číslo napíšeme nalevo od číslice 1 v nejspodnějším řádku:

$$ \begin{array}{cccccc} &&1&3\\ \cdot&&7&2\\\hline &&2&6&\\ &9&1&0 \end{array} $$

Zbývá poslední krok: sečíst čísla pod čarou.

$$ \begin{array}{cccccc} &&2&6&\\ +&9&1&0\\\hline &9&3&6 \end{array} $$

Vychází nám číslo 936, což je právě součin 13 · 72.

Proč to funguje

Násobení můžeme rozložit na jednodušší součiny a součty takto: můžeme napsat, že 13 · 72 je totéž jako 13 · 2 + 13 · 70. Můžete v tom vidět vytýkání, ale stačí prostý rozum: pokud sčítám sedmdesát dvakrát číslo třináct, tak je to stejné, jako kdybych sečetl sedmdesátkrát číslo třináct a pak ještě dvě třináctky přidal.

Popsaný postup nevytváří nic jiného, než tyto postupné součiny. Když si všimnete, tak pod čarou jsme dostali čísla 26 a 910. Přitom platí, že 26 = 2 · 13 a 910 = 70 · 13.

Aby to opravdu sedělo, museli jsme tam ve druhém řádku připsat nulu — protože jsme ve skutečnosti počítali 7 · 13. Abychom z tohoto získali součin 70 · 13, je třeba k výsledku přidat ještě jednu nulu.

Složitější příklad

Vypočítejte: 28 · 617. Jako první si čísla zapíšeme pod sebe:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline \end{array} $$

V prvním kroku počítáme: 7 · 8 = 56. Napíšeme 6, 5 jde dál.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&&6 \end{array} $$

Dále: 7 · 2 = 14, přičteme 5 z minula: 14 + 5 = 19. Napíšeme 9, 1 jde dál.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&9&6 \end{array} $$

Protože už nemáme co násobit, dopíšeme jedničku:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6 \end{array} $$

Jdeme na druhý řádek. Dopíšeme nulu a násobíme: 1 · 8 = 8, napíšeme 8:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &&8&0 \end{array} $$

Dále: 1 · 2 = 2, napíšeme 2:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0 \end{array} $$

A jdeme na třetí řádek. Posouváme se o další řád dále, takže napíšeme o jednu nulu více než předtím:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &&0&0 \end{array} $$

A násobíme: 6 · 8 = 48, 8 napíšeme, 4 jde dále.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &8&0&0 \end{array} $$

Dále: 6 · 2 = 12, přičteme 4, takže dostáváme 12 + 4 = 16. 6 napíšeme, 1 jde dále.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ 6&8&0&0 \end{array} $$

Protože už nemáme co násobit, dopíšeme jedničku:

$$ \begin{array}{ccccc} &&&2&8\\ \cdot&&6&1&7\\\hline &&1&9&6\\ &&2&8&0\\ 1&6&8&0&0 \end{array} $$

A teď všechna tři čísla pod čarou sečteme:

$$ \begin{array}{cccccc} &&&1&9&6\\ &&&2&8&0\\ +&1&6&8&0&0\\\hline &1&7&2&7&6 \end{array} $$

Odkazy a zdroje

• Další způsoby násobení na papíře — aneb jak násobili staří Egypťané?
• Jak násobí počítače