Průběh funkce: monotonnost

Při určování průběhu funkce zjišťujeme mimo jiné také to, ve kterých intervalech je funkce rostoucí nebo klesající. K tomu nám dobře poslouží derivace funkce.

Jak zjistit monotonnost funkce

Směrnice tečny v bodě, tedy derivace funkce v bodě, nám toho o funkci říká více, než by se zdálo. Jako první si prohlédněte následující obrázek:

Čeho si teď můžeme všimnout — pokud je funkce v daném bodě klesající, pak klesá i tečna v tomto bodě (přesněji klesá funkce, která by danou tečnu popisovala). To je vidět u tečny b. Funkce x² + 1 je v bodě B klesající a i tečna b je klesající. Naopak tečna a je rostoucí a vidíme, že i funkce x² + 1 je v bodě A rostoucí. Třetí tečna c je rovnoběžná s osou x a vidíme, že je v tomto místě extrém — konkrétně minimum.

To jsou věci, které jdou na první pohled vidět, ale chce je to ještě upřesnit. Začneme rostoucí a klesající funkcí. Pokud je tečna funkce v bodě rostoucí, pak je i funkce v tomto bodě rostoucí. Kdy je tečna rostoucí? Tečna je rostoucí, pokud úhel, který svírá s kladnou poloosou x je v intervalu (0, 90) stupňů. Tečna je pak klesající, pokud úhel, který svírá s kladnou poloosou x je v intervalu (90, 180) stupňů. Prohlédněte si následující obrázek:

Úhel α je určitě menší než 90 stupňů a tečna je rostoucí. Úhel β je větší než 90 stupňů a tečna klesá. To by mělo být jasné. Teď zpět k tangensu. Musíme si zopakovat, jak se počítá tangens. K tomu budeme potřebovat jednotkovou kružnici. Na jednotkovou kružnici nanášíme naše požadované úhly a jednotková kružnice nám podle nějakých pravidel vrací hodnoty goniometrických funkcí. Hodnota tangensu se zobrazuje jako y-ová souřadnice průsečíku ramene úhlu s kolmicí k ose x vedenou v bodě [0, 1]. Obrázek následuje:

Na obrázku máme modrou jednotkovou kružnice a dvě přímky, červená přímka a a zelená b. Tyto přímky vytváří s kladnou poloosou x úhly α a β. Z obrázku můžeme snadno vyčíst tangens těchto úhlů: povedeme kolmici p k ose x v bodě [1, 0]. To je ta šedá přímka. Tangeng úhlu α je pak roven y-ové souřadnici průsečíku červené přímky a s šedou přímkou p. Jinak řečeno: tangens úhlu α je roven velikost úsečky |BP|.

Totéž pro přímku b a úhel β. Tangens úhlu β je roven y-ové souřadnici průsečíku přímky b s přímkou p. Neboli délce úsečky CP.

Jak vidíte, tan(α) bude kladné, zatímco tan(β) je záporné. A to je to, co jsme hledali. Jak je vidět z obrázku, je-li úhel v intervalu (0, 90), což úhel α je, pak je tangens tohoto úhlu kladný, je-li z intervalu (90, 180), což úhel β je, pak je záporný.

Jak bychom nyní jednoduše zjistili, jaký úhel svírá tečna v daném bodě s kladnou poloosou x? Pomocí derivací. Derivace funkce nám udává směrnici tečny v daném bodě a směrnice tečny je právě tangens úhlu, který svírá tečna s kladnou poloosou x. Jinými slovy, pokud je v danéím bodě první derivace funkce kladná, pak je funkce rostoucí. Pokud je záporná, pak je klesající.

Jestliže $f^{\prime}(x) > 0$, pak je funkce f v bodě x rostoucí. Jestliže $f^{\prime}(x) < 0$, pak je funkce f v bodě x klesající.

Příklad: vezmeme si opět na pomoc funkci f(x) = x². Víme, že derivací této funkce je funkce $f^{\prime}(x)=2x$. Pro všechny body, pro které platí 2x < 0 je funkce klesající a pro všechny 2x > 0 je funkce rostoucí. Jsou to jednoduché nerovnice, takže nám vyjdou intervaly (−∞, 0) pro klesající a (0, ∞) pro rostoucí.