Mocniny a odmocniny

Umocňování je matematická funkce, která, jednoduše řečeno, slouží ke zkrácenému zápisu opakovaného násobení. Můžete si také prohlédnout video verzi článku!

Přirozený exponent

Umocňování má tvar aⁿ, kde výrazu n říkáme exponent a výrazu a říkáme základ. Dále nás bude zajímat především tvar exponentu. V této části si ukážeme, jaké má vlastnosti mocnina s přirozeným exponentem, tedy když je exponent číslo 1, 2, 3, 4, …

Příkladem takové mocniny je 6². Šestka je základ, dvojka je exponent. Exponent nám říká, kolikrát za sebou máme vynásobit šestku, abychom získali výsledek. Takže platí 6² = 6 · 6 = 36. Jiný příklad 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Obecně bychom to mohli zapsat takto:

$$a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\mbox{-krat}}$$

Základem může být cokoliv — číslo, ale klidně i složitější výraz. Během výpočtu pak jen daný výraz vynásobíte tolikrát, kolikrát udává exponent. Příklady:

$$\begin{eqnarray} (-5)^3&=&(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)\\ x^4&=&x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3)^2&=&(x+3)\cdot(x+3) \end{eqnarray}$$

Pro exponent, který je rovný nule, zavádíme rovnost a⁰ = 1.

Záporný exponent

V této části budeme předpokládat, že exponent bude záporný. Jaká by mohla být interpretace? Vyjdeme z toho, že a⁰ = 1. Pokud chceme vypočítat a¹, pak bychom mohli říci, že vynásobíme a⁰ výrazem a. Protože a⁰ = 1, tak součinem získáme a⁰ · a = a. Získáme a. Pokud budeme chtít vypočítat a², můžeme napsat a² = a⁰ · a · a.

O hodnotě a⁰ = 1 můžeme říci, že je to naše výchozí hodnota a když počítáme aⁿ, tak jen n-krát vynásobíme hodnotu a⁰ výrazem a. Jak bychom postupovali, pokud by n bylo záporné? Pokud je n kladné, tak násobíme. Pokud je n záporné, tak budeme dělit. Takže a⁻¹ bychom získali tak, že bychom vzali počáteční hodnotu a⁰ a tuto hodnotu bychom podělili výrazem a. Dostáváme tak rovnici:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac1a$$

Pokud bychom chtěli znát a⁻², vydělili bychom a⁰ výrazem a dvakrát. Co bychom získali? Nejprve si řekneme, jak můžeme jinak zapsat dělení. Pokud máme podíl x/y, můžeme to stejně tak napsat jako

$$x\cdot\frac1y$$

Je to jedna ze základních vlastností zlomků. Takže pokud chceme nějaký výraz x dvakrát vydělit výrazem y, můžeme to napsat jako

$$x\cdot\frac1y\cdot\frac1y$$

Vraťme se k příkladu a⁻². Řekli jsme, že to získáme tak, že výraz a⁰ dvakrát vydělíme a. To dále upravíme takto:

$$a^{-2}=a^0\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac1a=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

V tuto chvíli už máme postup, jak vypočítat mocninu se záporným exponentem. Vypočítáme mocninu, jako by byl exponent kladný a následně jen převrátíme hodnotu vydělením jedna lomena výsledek umocnění. Zapsáno přesněji:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Zde předpokládáme, že −n je záporné číslo, tedy n je kladné.)

Takže několik příkladů:

$$\begin{eqnarray} 2^{-1}&=&\frac{1}{2^1}=\frac12\\ 5^{-3}&=&\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3)^{-8}&=&\frac{1}{(2x+3)^8} \end{eqnarray}$$

Racionální exponent

Exponent dále můžeme rozšířit pro všechna racionální čísla. Racionální číslo je takové číslo, které lze vyjádřit ve formě zlomku, podílu dvou celých čísel. Mějme tak zlomek ve tvaru m/n, kde n je kladné číslo. Pak můžeme napsat vzorec

$$\Large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Ten klikyhák nad a^m je znak pro odmocninu.

Kalkulačka

Pokud potřebujete vypočítat nějakou mocninu, můžete použít zdejší kalkulačku mocnin 🧮.

Vlastnosti mocnin

• a⁰ = 1, pokud a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, pokud n > 0.
• 0⁰ je nedefinovaný výraz.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\Large \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, pokud a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.