Lineární obal
Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu
Pokud máme nějakou množinu vektorů a spočítáme jejich všechny lineární kombinace, pak získáme lineární obal této množiny vektorů.
Definice lineárního obalu
Mějme vektory x1, …, xn. Už víme, že z těchto vektorů můžeme poskládat nový vektor pomocí lineární kombinace. Zvolíme reálná čísla a1, …, an a nový vektor y získáme vynásobením a sečtením
$$ \mathbf{y}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$
Tímto způsobem, pokud je alespoň jeden z vektorů xi různý od nulového vektoru, můžeme z množiny vektorů x1, …, xn vyrobit nekonečně mnoho „dalších“ vektorů — stačí jen nějak vhodně zvolit jiné koeficienty a1, …, an.
Pokud budeme generovat vektory dál a dál, získáme nakonec všechny vektory, které můžeme získat lineární kombinací vektorů x1, …, xn. Takovou množinu pak nazýváme lineárním obalem vektorů x1, …, xn. Lineární obal množiny vektorů X značíme pomocí špičatých závorek: <X>. Formálně bychom mohli lineární obal zapsat takto
$$ \left<\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right> = \left\{a_1 \cdot \mathbf{x}_1+\ldots+a_n \cdot \mathbf{x}_n | a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\right\}, $$
pokud máme konečný počet vektorů. Máme-li nekonečnou množinu vektorů X, můžeme vzít všechny konečné podmnožiny Yi ⊆ X, tedy |Yi| = r pro nějaké r ∈ ℕ, a lineárním obalem množiny X by pak bylo sjednocení všech množin <Yi>.
Příklad
Zůstaneme u oblíbeného vektorového prostoru ℝ3. Zvolíme si jednobodovu množinu X1 = {[1,2,1]} a ptáme se, jaký je lineární obal této množiny? Jsou to všechny lineární kombinace vektoru [1,2,1]. Výsledný obal bude mít tvar
$$ \left<X_1\right> = \left\{\left[a,2a,a\right]|a\in \mathbb{R}\right\} $$
Budou to tak vektory tvaru [3,6,3],[8,16,8],[−1,−2,−1] atd. Můžeme si zkusit ověřit, že součet některých dvou vektorů nám dá nový vektor stejného tvaru:
$$\begin{eqnarray} \left[3{,}6,3\right]+\left[3{,}6,3\right]&=&\left[6{,}12,6\right]\\ \left[3{,}6,3\right]+\left[-1,-2,-1\right]&=&\left[2{,}4,2\right]\\ \left[8{,}16,8\right]+\left[2{,}4,2\right]&=&\left[10{,}20,10\right] \end{eqnarray}$$
Druhým příkladem mohou být klasické vektory X2 = {[1,0,0], [0,1,0]}. Když spočítáme všechny lineární kombinace, tak zjistíme, že mají tvar [a, b, 0], kde a, b, ∈ ℝ. Lze to ukázat jednoduše, protože
$$\left[a,b,0\right] = a \cdot \left[1{,}0,0\right] + b \cdot \left[0{,}1,0\right].$$
Vektory tohoto obalu jsou tak například [0,8,0], [14,15,0] apod. Formálně bychom to zapsali takto:
$$ \left<X_2\right> = \left\{\left[a,b,0\right] | a,b \in \mathbb{R}\right\} $$
Lineární obal jako nejmenší podprostor
Mějme vektorový prostor V a nějakou množinu vektorů X ⊆ V. Lineární obal <X> je pak vektorový podprostor prostoru V, tj. obal <X> je vektorový prostor.
Stačí nám prokázat, že je obal <X> uzavřený vůči sčítání a násobení. To jistě je, protože jakýkoliv vektor x ∈ <X> vznikl jako lineární kombinace vektorů z X.
Lineární obal množiny X je zároveň nejmenší podprostor, který obsahuje všechny vektory z množiny X. Proč? Nejmenší vektorový podprostor, který obsahuje vektory z X, musí obsahovat i všechny lineární kombinace vektorů z X — jinak by to nebyl vektorový prostor. Můžeme sporem předpokládat, že existuje nějaký menší vektorový podprostor, označme ho Y, který obsahuje všechny vektory z X, tedy X ⊆ Y. Protože je, dle předpokladu, Y menší než obal <X>, tak musí existovat vektor x, který je v <X>, ale není v Y, tedy $\mathbf{x}\in\left<X\right> \wedge \mathbf{x}\notin Y$.
Přitom ale platí, že vektor x musí jít sestrojit jako lineární kombinace vektorů z X, musí tak existovat vektory x1, …, xn∈ X a koeficienty a1, …, an takové, že
$$ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$
Pokud ale Y tento vektor x neobsahuje a přitom obsahuje vektory x1, …, xn, tak Y nemůže být vektorový prostor, a tedy ani podprostor. Obal <X> je tak nejmenším podprostorem, který obsahuje všechny vektory z X.
Základní vlastnosti lineárního obalu
-
Vždy platí, že W ⊆ <W>. To by mělo být jasné. Lineární obal množiny W bude vždy stejný nebo větší než množina W. Protože lineární obal <W> obsahuje všechny lineární kombinace vektorů z W, tak <W> musí obsahovat i všechny vektory z W, protože pokud vezmeme nějaký vektor x ∈ W, tak platí, že pro a = 1 získáme kombinaci a · x = x.
Příklad: lineární obal množiny W = {[1,0,0]} je množina
$$\begin{eqnarray} \left<W\right> &=& \left\{\left[a,0{,}0\right],|,a\in \mathbb{R}\right\}\\. \end{eqnarray}$$
Zřejmě platí, že {[1,0,0]} ⊆ {[a,0,0],|,a∈ ℝ}.
-
Vždy platí, že <W> = <<W>>. Pokud už jednou spočítáme lineární obal, pak lineární obal tohoto obalu je tentýž obal. <W> obsahuje všechny lineární kombinace z W. Pokud bychom znova spočítali všechny lineární kombinace z <W>, nezískali bychom žádné nové.
-
Mějme nějaký vektorový prostor V a mějme dvě podmnožiny tohoto prostoru (ne nutně podprostory) W1 a W2, tj. W1, W2 ⊆ V. Pokud zároveň platí, že W1 ⊆ W2, pak platí i <W1> ⊆ <W2>.
Jinak řečeno: pokud máme dvě množiny vektorů, přičemž jedna z nich je menší, tak tato menší množina vektorů má menší nebo stejný lineární obal než ta větší množina.
Příklad: nechť W1 = {[1,0,0]} a W2 = {[1,0,0], [0, 1, 0]}. Vidíme, že platí W1 ⊆ W2. Jaké by byly lineární obaly?
$$\begin{eqnarray} \left<W_1\right> &=& \left\{\left[a,0{,}0\right],|,a\in \mathbb{R}\right\}\\ \left<W_2\right> &=& \left\{\left[a,b,0\right],|,a,b\in \mathbb{R}\right\}\\ \end{eqnarray}$$
Množina vektorů W2 „vygenerovala větší obal“ než množina W1, což jsme očekávali. Množina W2 obsahuje všechny vektory z množiny W1, takže všechny lineární kombinace vektoru z W1 se zároveň povede vygenerovat z vektorů v W2.
Jiný příklad: W3 = {[1,2,0]} a W2 = {[1,2,0], [5,10,0]}. Na první pohled je vidět, že vektory ve W2 jsou závislé. Proto obě množiny vygenerují stejný obal. Tedy přestože W1 ⊂ W2, tak <W1> = <W2>.