Lineární kombinace vektorů
Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu
Lineární kombinace představuje postup, jak z určité množiny vektorů sestavit nový vektor jen pomocí sčítání a násobení.
Co je to lineární kombinace
Mějme nějaký vektorový prostor V. Víme, že prostor je zavřen na operaci sčítání vektorů, takže pro dva vektory x, y ∈ V vždy platí, že x+y∈ V. Pokud sečteme dva vektory, získáme opět vektor z téhož prostoru. To samé platí i pro násobení skalárem. Pokud máme nějaké k∈ ℝ, pak i k · x ∈ V.
Obě operace můžeme zkombinovat — vezmeme k, l ∈ ℝ a výraz k · x + l · y nám opět dá nový vektor, označme jej v, a tento vektor v bude opět ležet v prostoru V. Proč? k · x ∈ V, zároveň jistě l · y∈ V. Sčítáme dva vektory prostoru V, z definice tak musíme získat vektor z prostou V.
Můžeme tak říci, že vektor v je lineární kombinací vektorů x a y. Obecně: pokud máme vektory x1, x2, …, xn a reálná čísla k1, k2, …, kn, kterým říkáme koeficienty, tak lineární kombinací těchto vektorů je vektor v, který získáme
$$\mathbf{v}=k_1\cdot \mathbf{x}_1+k_2\cdot \mathbf{x}_2 + \ldots + k_n\cdot \mathbf{x}_n.$$
Příklad: vezměme si prostor ℝ2 a z něj dva vektory: [2,3] a [0,8]. Nyní zvolíme koeficienty: k1 = 2, k2 = 5. Lineární kombinací těchto vektorů s koeficienty k1, k2 získáme vektor
$$2\cdot\left[2{,}3\right]+5\cdot\left[0{,}8\right]=\left[4{,}6\right]+\left[0{,}40\right]=\left[4{,}46\right]$$
Vidíme, že jsme získali vektor [4,46], který je součástí prostoru ℝ2. Pokud bychom zvolili jiné koeficienty, získali bychom jiný vektor. Pro k1 = 0, k2 = −1 máme:
$$0\cdot\left[2{,}3\right]-1\cdot\left[0{,}8\right]=\left[0{,}0\right]+\left[0,-8\right]=\left[0,-8\right]$$
Lineárně závislé vektory
S lineárními kombinacemi souvisí lineárně závislé či lineárně nezávislé vektory. Ukážeme si to na příkladu: mějme vektorový prostor ℝ2 a množinu vektorů Q z tohoto prostoru:
$$Q=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[3, 5\right], \left[10, 18\right]\right\}$$
Bude nás teď zajímat otázka, jestli dokážeme některý z těchto čtyř vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních tří vektorů. Když se tak zadíváme na vektory, vidíme, že vektor [3, 5] je roven prostému součtu prvních dvou vektorů.
$$\left[1{,}1\right]+\left[2{,}4\right]=\left[3{,}5\right]$$
Vektor [3,5] je tak lineární kombinací vektorů [1,1] a [2,4]. Aby byla zábava, tak tento vektor odstraníme z množiny Q. Dostaneme novou množinu Q1 a ta má tvar:
$$Q_1=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[10, 18\right]\right\}$$
Nalezneme tam ještě nějaký vektor, který je lineární kombinací ostatních? Ano, vektor [10,18] je lineární kombinací prvních dvou vektorů pro k1 = 2, k2 = 4:
$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]=\left[2{,}2\right]+\left[8{,}16\right]=\left[10{,}18\right]$$
Opět tento vektor odstraníme, získáme:
$$Q_2=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right]\right\}$$
Ptáme se znova — můžeme získat jeden vektorů jako kombinaci druhého? Nemůžeme, žádný násobek vektoru [1,1] nebude roven vektoru [2,4].
Získali jsme množinu vektorů, kde žádný z vektorů nemůžeme vyjádřit jako lineární kombinaci z ostatních vektorů. Takové množině říkáme lineárně nezávislá množina vektorů. Pokud lze jeden vektor vyjádřit jako kombinaci ostatních, mluvíme o něm jako o lineárně závislém vektoru. Pokud ho nelze vyjádřit, mluvíme o něm jako o lineárně nezávislém vektoru.
Nulový vektor
Nulový vektor 0 hraje v lineární závislosti důležitou roli. Vraťme se k množině vektorů Q1 a k prostoru ℝ2. Množina Q1 vypadá takto:
$$Q_1=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[10, 18\right]\right\}$$
a již víme, že vektor [10, 18] je závislý, protože 2 · [1,1]+4 · [2,4] = [10, 18]. Co by se tedy stalo, kdybychom od výrazu 2 · [1,1]+4 · [2,4] odečetli vektor [10, 18]? Respektive kdybychom přičetli jeho −1 násobek? Vypadalo by to takto:
$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]-\left[10, 18\right]$$
Tento výraz by byl jistě rovný nulovému vektoru:
$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]-\left[10, 18\right]=\left[0{,}0\right]$$
Z toho můžeme usoudit zajímavou vlastnost. Pokud je množina vektorů x1, x2, …, xn lineárně závislá, pak existují reálné koeficienty a1, a2, …, an takové, že
$$a_1\cdot \mathbf{x}_1+a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n = \mathbf{0}$$
Přitom alespoň jeden koeficient ai musí být nenulový. Pokud bychom za všechny koeficienty dosadili nulu, získali bychom vždy platnou rovnici, a tím pádem by nám vyšlo, že každá množina vektorů je lineárně závislá, což je jistě nesmysl. Zdůvodnění předchozí rovnice je jednoduché. Pokud je například lineárně závislý vektor x1, pak to znamená, že
$$a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n=\mathbf{x}_1$$
K této rovnici stačí přičíst −x1 a získáme
$$-1\cdot\mathbf{x}_1 + a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n=\mathbf{0}$$
Jak zjistit, jestli jsou vektory závislé
Pokud máme vektory x1, x2, …, xn a chceme zjistit, jestli jsou lineárně (ne)závislé, stačí vyřešit zmíněnou rovnici
$$a_1\cdot \mathbf{x}_1+a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n = \mathbf{0}$$
tj. najít koeficienty ai. Pokud se pohybujeme v prostoru ℝ3, mohli bychom mít tyto vektory: [1,2,3], [2,1,7], [1,−4,5]. Protože chceme zjistit, jestli jsou závislé, řešíme tuto rovnici:
$$a_1\cdot\left[1{,}2,3\right] + a_2\cdot\left[2{,}1,7\right] + a_3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$
Tuto rovnici jen rozepíšeme podle definice sčítání vektorů a násobení vektorů. Platí, že a1 · [1,2,3] = [a1,2a1,3a1] atd. Rozepíšeme takto:
$$\left[a_1{,}2a_1{,}3a_1\right]+\left[2a_2, a_2{,}7a_2\right]+\left[a_3, -4a_3, 5a_3\right]=\left[0{,}0,0\right]$$
Teď rozepíšeme sčítání. Sčítáme vždy na stejných souřadnicích, takže sečteme první složku prvního vektoru a1 s první složkou druhého vektoru 2a2 s prvního složkou třetího vektoru a3 a to vše se musí rovnat první složce nulového vektoru, tj. nule. A tak dále pro druhou složku. Získáme soustavu lineárních rovnic:
$$ \begin{array}{} a_1&+&2a_2&+&a_3&=&0\\ 2a_1&+&a_2&+&-4a_3&=&0\\ 3a_1&+&7a_2&+&5a_3&=&0\\ \end{array} $$
Tuto soustavu můžeme zapsat do klasické matice:
$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} $$
Všimněte si, že ve sloupcích této matice jsou ve skutečnosti původní vektory. V prvním sloupci matice je původní vektor [1,2,3], ve třetím je vektor [1,−4,5] atd. Při počítání tak nemusíte vždy provádět všechny tyto složité úpravy, tuto matici vytvoříte tak, že do sloupců naskládáte vektory, o kterých máte zjistit, jestli jsou závislé, a pak přidat nulový sloupec.
Soustavu můžeme vyřešit Gaussovou eliminační metodou. Upravíme matici na schodovitý tvar. Jako první přičteme ke druhé řádku −2 násobek prvního řádku a ke třetímu přičteme −3 násobek prvního řádku:
$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$
Teď můžeme ke druhému řádku přičíst 3 násobek třetího řádku:
$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$
Dále už ani nemusíme počítat, povedlo se nám vynulovat jeden řádek, což značí, že vektory jsou lineárně závislé. Můžeme ale soustavu dopočítat. Zvolíme parametr a3 = t. Pak z rovnice
$$a_2+2a_3=0$$
což je poslední řádek matice, získáme dosazením a3 = t rovnici:
$$\begin{eqnarray} a_2+2t&=&0\\ a_2&=&-2t \end{eqnarray}$$
Nyní dosadíme tyto hodnoty do první rovnice, tj. do prvního řádku matice:
$$\begin{eqnarray} a_1+2a_2+a_3&=&0\\ a_1-4t+t&=&0\\ a_1&=&3t \end{eqnarray}$$
Máme tak a1 = 3t, a2 = −2t, a3 = t. Pokud za t dosadíme třeba t = 3, získáme jedno konkrétní řešení a1 = 9, a2 = −6, a3 = 3. Tyto koeficienty můžeme dosadit do původní rovnice
$$a_1\cdot\left[1{,}2,3\right] + a_2\cdot\left[2{,}1,7\right] + a_3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$
a získáme:
$$9\cdot\left[1{,}2,3\right] + (-6)\cdot\left[2{,}1,7\right] + 3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$
Upravíme levou stranu:
$$\begin{eqnarray} 9\cdot\left[1{,}2,3\right] + (-6)\cdot\left[2{,}1,7\right] + 3\cdot\left[1,-4{,}5\right]&=&\left[0{,}0,0\right]\\ \left[9{,}18,27\right] + \left[-12,-6,-42\right] + \left[3,-12{,}15\right]&=&\left[0{,}0,0\right]\\ \left[9-12+3{,}18-6-12{,}27-42+15\right] &=& \left[0{,}0,0\right]\\ \left[0{,}0,0\right] &=& \left[0{,}0,0\right]\\ \end{eqnarray}$$
Vidíme, že pokud za koeficienty zvolíme například a1 = 9, a2 = −6, a3 = 3, získáme z vektorů [1,2,3], [2,1,7], [1,−4,5] nulový vektor. Pokud by soustava měla pouze jediné, nulové, řešení, pak by vektory byly lineárně nezávislé.