Limita posloupnosti

Limita posloupnosti představuje číslo, ke kterému se daná posloupnost v nekonečnu přibližuje. Limita posloupnosti pak je jakýsi předskokan limity funkce, která má velký význam v matematické analýze.

Stručný úvod do limit

Limita posloupnosti představuje číslo, ke kterému se nějaká daná posloupnost čísel neustále blíží (případně ho nakonec i dosáhne). Nejlepší bude obrázek, který znázorňuje posloupnost danou předpisem $a_n=\frac1n$:

Na obrázku vidíme, že členy posloupnosti se stále více a více blíží nule. Čím je větší n, tím je menší hodnota a_n a tím více se blíží nule. Graf se nikdy horizontální osy nedotkne, protože nikdy nebude platit rovnice 1/n = 0 (kde n je přirozené číslo). Nicméně stojí za to zjistit, k jakému číslu se celá posloupnost blíží. Otázka tak může znít — pokud budeme n neustále zvyšovat, k jakému číslu se bude blížit hodnota posloupnosti? Pokud přiblížíme n k nekonečnu, jakou hodnotu bude mít člen posloupnosti? Přesně to řeší limity. Zapisujeme ji pomocí příkazu lim. Ve spodním indexu pak máme, ke kterému číslu se n blíží, u posloupností to bude vždy k nekonečnu. Celý zápis může vypadat například takto:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0.$$

Přečteme: „Limita posloupnosti jedna lomeno n pro n blížící se k nekonečnu je nula.“ Několik dalších triviálních příkladů: Jaká je limita posloupnosti a_n = n? To je jednoduchá posloupnost, kde a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 apod. Ke kterému číslu se budou blížit členy posloupnosti v nekonečnu? Čím větší n, tím větší a_n, tedy limita bude nekonečno.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$$

Asi intuitivně odtušíte, že limita posloupnosti a_n = n² bude také nekonečno. Tato posloupnost poroste ještě rychleji, než předchozí. Naopak limita posloupnosti $a_n=\frac{1}{2n}$ bude klesat k nule ještě rychleji než první ukázková posloupnost.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n^2=\infty,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n}=0$$

Definice vlastní limity posloupnosti

Je na čase si limitu posloupnosti pořádně zadefinovat.

Posloupnost $\left\{a_n\in\mathbb{R}\right\}_{n=1}^\infty$ má vlastní limitu a, (konverguje k limitě a ∈ ℝ, je konvergentní) jestliže ke každému ε > 0 existuje n₀∈ℕ takové, že pro všechna n>n₀ platí |a_n − a| < ε.

Používané zápisy jsou:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$$

$$a_n\rightarrow a\mbox{ pro } n\rightarrow\infty$$

$$\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty\rightarrow a$$

Definice to je hezká, teď si ji pojďme vysvětlit. K tomu budeme potřebovat obrázek nějaké posloupnosti, takže si zvolíme například následující posloupnost:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

A její graf:

Z grafu můžeme hezky vyčíst, že posloupnost konverguje k pětce, tedy že limita této posloupnosti je pět. Než na této posloupnosti začnu demonstrovat definici limity, ještě přidám do grafu trochu barviček:

Už víme, že limita této posloupnosti je pět. V první části definice se mluví o ε>0, tedy o nějakém epsilon, které je větší než nula. Epsilon zde představuje okolí limity, okolí bodu. Větší než nula je proto, že okolí nemůže být záporné, ani nulové. Na obrázku je toto okolí znázorněno vertikálními zelenými čárami na ose y. Bod je zde hodnota pět a okolí bodu jsou ty zelené čáry na ose y. Okolí jako takové je definováno oběma směry, nahoru i dolů. Tento pomyslný pás vymezený zelenými horizontálními čárami nyní budeme potřebovat. Na obrázku platí ε = 1.

Naším cílem je na spodní horizontální ose najít takové číslo n₀, které nám rozdělí spodní osu na dvě části. Přičemž musí platit, že všechny členy posloupnosti napravo od toho čísla n₀ se nachází v tomto zeleném pásu. Kde se nachází čísla nalevo od n₀ není podstatné, nemusíme hledat nejmenší n₀, pro které tato definice platí. V obrázku platí n₀ = 12.

Co ve skutečnosti znamená, že je člen posloupnosti v zeleném pásu? To, že má od limity (v tomto případě od čísla pět) maximálně vzdálenost epsilon. A to je přesně to, co říká definice: |a_n − a|<ε. Připomínám, že hodnota a značí limitu, v našem případě tak platí: a = 5. Zkusíme si spočítat hodnotu patnáctého prvku:

$$a_{15}=\frac{5\cdot15}{15+1}=4{,}6875$$

Nyní dosadíme do vztahu |a_n − a|<ε:

$$\begin{eqnarray} \left|a_n-a\right|&<&\epsilon\\ \left|4{,}6875-5\right|&<&1\\ 0{,}3125&<&1 \end{eqnarray}$$

Vidíme, že nerovnice platí. Tento bod splňuje definici. Číslo 0,3125 vyjadřuje vzdálenost mezi patnáctým členem posloupnosti a limitou posloupnosti. Na obrázku je tato vzdálenost zvýrazněna krátkou fialovou úsečkou. Pokud bychom takto otestovali všechna čísla větší n₀, zjistili bychom, že tato nerovnice stále platí. Číslo a = 5 tak vyhovuje definici limity této posloupnosti.

V definici je ale jedna důležitá věc. Píše se v ní, že pro každé ε>0 jsme schopni nalézt ono číslo n₀. Tedy pro libovolně velké epsilon, ale hlavně pro libovolně malé epsilon. Ať zmenšíme epsilon na jakkoliv malé (ale stále kladné) číslo, stejně musíme být schopni nalézt n₀.

Zkusme tedy zmenšit epsilon na nějakou menší hodnotu. Co se stane? Zmenší se nám zelený pás, do kterého se musíme vejít. Což nám ale vůbec nevadí, prostě jen zvýšíme hodnotu n₀ — posuneme ho doprava. Zmenšení i posunutí ilustruje následující obrázek:

Toto posunutí hezky znázorňuje chování limity. My od limity očekáváme, že se k ní budou členy posloupnosti postupně blížit, že se jejich vzdálenost od limity bude neustále snižovat. (Vzdálenost od limity je to, co jsme před chvílí počítali, ta fialová čára v obrázku.) Pokud se vzdálenost neustále snižuje a členy se přibližují k limitě, jednou se musí dostat do stavu, kdy budou k limitě blíže než epsilon. A tím jsme našli naši hodnotu n₀. Když naopak zvolíme epsilon větší, můžeme zvolit n₀ menší:

Na začátku jsem zmínil, že posloupnost se ke své limitě neustále přibližuje, ale nikdy se ji nedotkne. Nicméně posloupnost se své limity dotknout může, posloupnost může dokonce své limity nabývat nekonečněkrát. Pro příklad konstantní posloupnost a_n = 1 bude mít v každém bodu hodnotu jedna a limitu bude mít též jedna.

Demonstrace neexistence limity

Zkusme upravit definici posloupnosti tak, aby vyhovovala následujícímu grafu: (samotný předpis není pro tuto chvíli podstatný)

Posloupnost se chová stejně jako v předchozí případě až na desátý, dvacátý, třicátý atd. člen posloupnosti (předpokládejme, že tyto členy jsou vždy rovny číslu 3,5 — nijak nerostou ani neklesají). Tyto členy jsou jaksi mimo rytmus. Do obrázku jsem zakreslil dvě okolí, epsilon jedna a dva. Jak vidíme, pro ε₂ (to větší epsilon okolí) jsme schopni nalézt takové n₀, aby všichni další členy byli v zeleném pásu. Ale když snížíme hodnotu epsilon na ε₁, tak už takové n₀ nenajdeme — každý desátý člen bude mimo toto okolí. Tato posloupnost by v bodě pět neměla limitu (a nemá limitu ani nikde jinde).

Příklady dalších limit

Příkladem posloupnosti, která nemá žádnou limitu je a_n = sin n, zobrazena na následujícím obrázku:

Vidíme, že posloupnost nekonverguje k žádnému číslu, členy posloupnosti neustále klesají a rostou. Takovou posloupnost nazýváme divergentní.

Prozatím jsme si ukázali konvergentní posloupnosti, které k dané limitě konvergovali z jedné strany. Posloupnost se ale k limitě může blížit z obou stran, jak ukazuje tato posloupnost

$$a_n=(-1)^n\cdot\frac{1}{n}$$

I tato posloupnost bude konvergovat k nule.

Nevlastní limita

Zatím jsme se bavili o vlastní limitě, tedy o případu, kdy se posloupnost blíží k nějakému reálnému číslu. Nicméně co taková posloupnost a_n = n? K jakému reálnému číslu se posloupnost blíží? Prohlédněte si graf:

Zřejmě se neblíží žádnému reálnému číslu, ale roste nade všechny meze, roste do nekonečna. Taková posloupnost má tak limitu v nekonečnu a o takové limitě říkáme, že je nevlastní. Definice nevlastní limity je jednoduchá. Co znamená, že posloupnost roste do nekonečna? Že když si zvolíme nějaké reálné číslo A, libovolně velké, tak vždy najdeme index n₀ takový, že pro všechny členy posloupnost, které jsou za tímto členem platí, že jsou větší než toto číslo A. Zkrátka pokud si zvolíme mez A, tak od nějaké části posloupnosti platí, že všechny členy jsou větší než toto A. Zapsáno matematicky:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall A\in\mathbb{R}\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}: n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Na začátku máme pro všechna A, tedy pro všechny meze, které bychom chtěli zvolit. Pak máme existenční kvantifikátor, který říká, že musí existovat index n₀, pro který platí, že pokud je n větší než toto n₀, pak hodnota členu a_n je větší než mez, kterou jsme na začátku volili, tj. A. Podobná definice bude pro nevlastní limitu v minus nekonečnu.

Metody výpočtu limit

Už víme několik základních metod jak spočítat limitu posloupnosti. Různé obměny posloupnosti a_n = n jako například

$$a_n=2n,\quad a_n=\frac{n}{2}$$

mají limitu v plus nekonečnu. Naopak posloupnosti typu

$$a_n=\frac{1}{n},\quad a_n=\frac{15}{4n}$$

mají limitu v nule. Nyní si uvedeme některé základní vztahy pro počítání s posloupnostmi. Předpokládejme, že platí

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b,\quad a,b\in\mathbb{R}.$$

Pak také platí tyto vztahy:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(c_1a_n+c_2b_n)=c_1a+c_2b\quad\forall c_1,c_2\in\mathbb{R}$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=a\cdot b;\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}; b\ne 0.$$

První vzorec bychom mohli uplatnit v následujícím příkladu:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}+5)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}5=0+5=5$$

A co v případě, kdy máme takový příklad?

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}$$

Zde nastává problém, protože výraz v čitateli se v nekonečnu blíží k nekonečnu, výraz ve jmenovateli se také blíží k nekonečnu. Jenže pokud máme v čitateli i jmenovateli nekonečno, získáváme tzv. neurčitý výraz. Zkrátka nemůžeme určit, čemu se rovná tento výraz:

$$\frac{\infty}{\infty}$$

Naším úkolem bude upravit výraz tak, aby tento neurčitý výraz nevznikl. Pokud se nám podaří odstranit ze jmenovatele nebo z čitatele proměnnou n, můžeme už dostat výraz, kde bude pouze jedno nekonečno.

Výraz nejprve upravíme tak, že každý člen vydělíme proměnnou n, neboli rozšíříme zlomek výrazem 1/n.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{3n+1}{2n}\cdot\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Vidíme, že ve jmenovateli už není proměnná n a výraz ve jmenovateli se tak v nekonečnu neblíží nekonečnu. Podle předcházejících vzorců můžeme celou limitu rozložit do několika menších tak, že spočítáme zvlášť limity všech výrazů a výsledky sečteme a podělíme.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}$$

Dostali jste se tak do situace, kdy už zvládneme vypočítat všechny limity. Učiňme tak.

$$\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Limitou této posloupnosti je číslo 1,5.

Zkusíme další příklad:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Zde můžeme buď použít stejný postup jako minule nebo můžeme zkusit zapojit logickou úvahu. Funkce n² bude posloupnost táhnout nahoru daleko rychleji než ji bude funkce n stahovat dolů. Funkce n² je daleko silnější a tak celý výraz bude mít limitu v nekonečnu. Zkusíme si to i spočítat. Opět každý výraz podělíme n:

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ &=&\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3n+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}\\ &=&\frac{\infty+0}{2}=\infty \end{eqnarray}$$

Ještě několik slov k tomu, proč jsme dělili n a ne například n², které se ve výrazu také vyskytuje. Naším cílem, jak víme, je zbavit se nějaké proměnné. Nicméně víme, že hodnota jmenovatele nesmí být nula, to bychom opět dostali neurčitý výraz. Zlomek budeme rozšiřovat takovým výrazem, aby ve jmenovateli nevznikla nula. To v tomto případě znamenalo rozšířit ho výrazem s nejvyšším exponentem ve jmenovateli.

Můžeme tak říci, že limita se bude řídit funkcí, která roste řádově rychleji. Pozor ale na znaménka, i při počítání s nekonečnem musíme zachovat znaménko:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{-2n}=\ldots=\frac{\infty+0}{-2}=-\infty$$