✖

L'Hospitalovo pravidlo

Kapitoly: Limita funkce, Nevlastní limita ve vlastním bodě, Vlastní limita v nevlastním bodě, Nevlastní limita v nevlastním bodě, Jednostranná limita, L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo (čti: lopitalovo pravidlo) lze někdy použít pro výpočet limit ve tvaru podílu.

Definice

Pokud počítáme limitu funkce v bodě, pak si za jistých okolností můžeme vypomoci derivacemi. Mějme tak tak funkci ve tvaru podílu, tj. máme funkce f(x) a g(x) a hledáme limitu

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. $$

Pokud platí rovnosti f(x0) = g(x0) = 0 a existuje limita

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}, $$

pak platí vztah:

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. $$

Pokud limita $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ neexistuje, tak to neznamená, že neexistuje ani limita $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$. Pokud neexistuje limita s derivacemi, musíme původní limitu bez derivací vypočítat jiným způsobem.

Příklad

  1. Vypočítejte limitu

    $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} $$

    Můžeme tento příklad řešit L'Hospitalovým pravidlem? Jako první musíme ověřit, zda je funkční hodnota obou funkcí (té ve jmenovateli zlomku a té v čitateli) v bodě x0 = 3 rovna nule. Označme si funkce f(x) = x2 − 9 a g(x) = x2 − x − 6. Pak platí:

    $$ \begin{eqnarray} f(3) &=& 3^2 - 9 = 0\\ g(3) &=& 3^2 - 3 - 6 = 0 \end{eqnarray} $$

    První podmínka je splněna. Všimněte si, že limitu nemůžeme vypočítat prostě tak, že za x dosadíme číslo tři, protože celá funkce je v bodě x0 = 3 nespojitá, resp. vůbec tam nemá funkční hodnotu (tu nemá proto, že abychom ji získali, museli bychom dělit nulou). Nyní můžeme zkusit použít L'Hospitalovo pravidlo a zderivovat obě funkce. Pozor, nederivujeme podle vzorce pro podíl, derivujeme zvlášť funkci v čitateli a zvlášť funkci ve jmenovateli. Takže získáme:

    $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 2x\\ g'(x) &=& 2x - 1 \end{eqnarray} $$

    Místo předchozí limity tak můžeme řešit tuto limitu:

    $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} $$

    Tato funkce je v bodě x0 = 3 spojitá, takže už můžeme pouze dosadit za x hodnotu tři a vypočítat funkční hodnotu celé funkce:

    $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac{2\cdot3}{2\cdot3-1}=\frac65 $$

    Vidíme, že limita této funkce existuje, proto existuje i limita $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ a tyto limity jsou si rovny. Platí tak:

    $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} = \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac65. $$

  2. Vypočtěte limitu

    $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} $$

    Jak vypadá situace v bodě x0 = 0? Opět označíme f(x) = x a g(x) = sin x. Platí, že f(0) = 0 a g(0) = 0. Dostáváme podíl $\frac00$, funkce je v daném bodě nespojitá. Můžeme zkusit použít L'Hospitalovo pravidlo. Zderivujeme obě funkce:

    $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 1\\ g'(x) &=& \cos x \end{eqnarray} $$

    Derivace funkcí máme, zkusíme vypočítat limitu

    $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x} $$

    Jaká nastane situace v bodě x0 = 0? Protože cos(0) = 1, dostáváme zlomek $\frac11=1$. Funkce je v bodě x0 = 0 spojitá, takže platí

    $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x}=\frac11=1. $$

    Protože existuje tato limita, existuje i limita $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}$ a tyto limity jsou si rovny. Dostáváme

    $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} = 1 $$

Hledáme programátory!