Průběh funkce: Konvexnost a konkávnost
Kapitoly: Průběh funkce, Průběh funkce: extrémy, Průběh funkce: monotonnost, Konvexnost a konkávnost
Konvexnost a konkávnost funkce představuje jakousi vypoukloust funkce. Bodům, ve kterých se mění konvexní funkce na konkávní či naopak, se říká inflexní body.
Co je to konvexní a konkávní funkce
Z grafu bývá na první pohled zřejmé, jestli je funkce konkávní nebo konvexní. Konvexní funkce vypadá jako „ďolík“, zatímco konkávní jako kopec. Taky se říká, že do konvexní funkce nalijete kafe. Následují tři příklady již známých funkcí.
Jak zjistit, jestli je funkce konvexní nebo konkávní
Teď musíme dojít k tomu, jak zjistit, zda je funkce na daném intervalu konvexní nebo konkávní. K tomu budeme potřebovat další obrázek:
Kvadratická funkce se na celém svém definičním oboru konvexní. Čeho si všimnete, když se podíváte na všechny tečny, které jsem v obrázku znázornil? Pro každou tečnu platí, že všechny body kvadratické funkce jsou nad touto tečnou, s výjimkou toho jediného bodu, kterého se tečna dotýká. Můžeme nakreslit podobný obrázek pro opačnou funkci −x2, tam bude situace obrácená a všechny body budou pod tečnou:
Před dalším vysvětlováním si prohlédněte následující obrázek:
Znázorněná funkce f(x) = x2 je konvexní. Víme už, že u konvexní funkce jsou všechny body grafy nad tečnou. To je zde splněno — máme tečnu t a body grafu jsou nad touto tečnou. Nyní jde o to, jak vypočítat, že ty body jsou nad tečnou.
Máme daný bod x0, přičemž v bodě [x0, f(x0)] vedeme tečnu ke grafu, přímku t. Na obrázku je bod o souřadnicích [x0, f(x0)] zaznačen červeným bodem T. Dále si na x-ové ose zvolíme nějaký jiný bod x. Na obrázku je to zelený bod. Pro x musí platit, že bod [x, f(x)], na obrázku zelený bod F, se nachází nad tečnou t. Protože funkce x2 je konvexní na celém svém definičním oboru, tak ať vezmeme jakýkoliv prvek x ∈ D(f), tak musí platit, že [x, f(x)] se nachází nad tečnou.
Jak bychom to zapsali nějak do vzorce? Na obrázku máme tečnu t. Představme si lineární funkci t(x), jejíž grafem by byla právě tečna/přímka t. Takže například funkční hodnota v bodě x0, tj. t(x0), by se rovnala t(x0) = f(x0), protože se v tomto bodě funkce rovnají (jejich grafy se protínají).
Nyní už to můžeme vyjádřit vzorci. Jak bychom napsali, že se graf jedné funkce nachází nad grafem funkce? Jednoduše tak, že f(x) > t(x). Když se podíváme na obrázek: v bodě x se tečna nachází pod grafem, protože f(x) > t(x).
Protože známe funkci f, tak známe i hodnoty f(x0) a f(x). Abychom tak zjistili, jestli f(x) > t(x), stačí nám zjistit délku fialové úsečky AB. A jak ji zjistíme? No, známe délku úsečky TA, to je |x − x0|. Délku úsečky TB ale bohužel neznáme. Nicméně pokud vypočítáme derivaci funkce v bodě x, pak zjistíme směrnici tečny, tj. zjistíme tangens úhlu, který svírá tečna s kladnou poloosou x, přičemž tento úhel má stejnou velikost jako úhel ATB, jsou to souhlasné úhly.
Nyní známe velikost úsečky TA, velikost úhlu ATB. Připomeneme, že tangens udává poměr protilehlé a přilehlé odvěsny, takže platí:
$$ \tan(\sphericalangle ATB) = \frac{|AB|}{|TA|} $$
My známe $\tan(\sphericalangle ATB)$ a |TA| a chceme vypočítat |AB|. Osamostatníme tak |AB|:
$$ |AB| = \tan(\sphericalangle ATB) \cdot |TA| $$
Rovnici upravíme nejprve tak, že za délku |TA| dosadíme |x − x0|:
$$ |AB| = \tan(\sphericalangle ATB) \cdot |x-x_0| $$
A za $\tan(\sphericalangle ATB)$ dosadíme derivaci funkce f v bodě x0, tj. $f^{\prime}(x_0)$:
$$ |AB| = f^{\prime}(x_0) \cdot |x-x_0| $$
Tím bychom měli vypočítanou délku úsečky AB. Můžeme tak napsat: funkce f je v bodě x0 konvexní, pokud existuje nějaké redukované okolí O bodu x0, kde platí, že pro všechna x z tohoto okolí O platí vztah:
$$ f(x) > f(x_0) + f^{\prime}(x_0) \cdot |x-x_0|. $$
Celá pravá strana nerovnice je vlastně rovna hodnotě t(x). Když se podíváte na obrázek, tak když k f(x0) přičtete velikost úsečky AB, pak získáte právě t(x).
Jak nalézt inflexní body
Už bez odvození řekneme, že funkce f(x) je v bodě x0 konvexní, pokud platí $f^{\prime\prime}(x_0)\ge0$ a konkávní pokud $f^{\prime\prime}(x_0)\le0$. Slovně, pokud je druhá derivace v bodě nezáporná, pak je funkce v daném bodě konvexní. Pokud zaměníme ≥ za >, získáme definici ryze konvexní funkce.
Podobně, jako extrém funkce rozděloval klesající část funkce a rostoucí část funkce, inflexní body rozdělují konvexní a konkávní části funkce. Takže inflexní bod je bod, kde se funkce mění z konvexní na konkávní nebo naopak. Dříve jsme si říkali, že i když je první derivace v bodě nulová, nemusí tam ještě nutně být extrém. Může tam totiž být inflexní bod.
Co musí platit pro inflexní bod? V daném bodě se mění konvexní funkce na konkávní (nebo naopak), takže v daném bodě musí být funkce konkávní a zároveň konvexní. Nebo nesmí být ryze konvexní ani ryze konkávní. Konvexní nebo konkávní je, pokud $f^{\prime\prime}(x)\ge0$ nebo $f^{\prime\prime}(x)\le0$. Jediný případ, kdy může být funkce v bodě konvexní i konkávní tak je, pokud $f^{\prime\prime}(x)=0$. Pokud $f^{\prime\prime}(x)=0$ a pokud zároveň $f^{\prime\prime\prime}(x)\ne0$, pak je v bodě x inflexní bod. Příklad:
Nalezněte inflexní body funkce f(x) = x3. Graf:
Spočítáme první, druhou a třetí derivaci:
\begin{eqnarray} f^{\prime}(x)&=&3x^2\\ f^{\prime\prime}(x)&=&6x\\ f^{\prime\prime\prime}(x)&=&6 \end{eqnarray}
Vidíme, že $f^{\prime}(x)=0$ pro x = 0, stejně tak $f^{\prime\prime}(0)=0$. Druhá derivace funkce je v bodě 0 nulová. Přitom třetí derivace je kladná, tedy nenulová. Funkce má v bodě x = 0 inflexní bod. Z grafu vidíme, že se mění z konkávní na konvexní.