Inverzní funkce

Inverzní funkce je taková funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní.

Úvodní příklad

Pro začátek si vezmeme jednoduchou lineární funkci f(x) = 2x. Jak budou vypadat funkční hodnoty této funkce? Například pro prvních pár přirozených čísel budou funkční hodnoty vypadat takto:

$$\begin{eqnarray} f(1)&=&2\\ f(2)&=&4\\ f(3)&=&6\\ f(4)&=&8\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Vidíme, že pokud do funkce vložíme dvojku, vrátí se nám čtyřka. Co by měla dělat inverzní funkce k této funkci? Měla by fungovat opačně — měli bychom do ní vložit čtyřku a funkce by nám měla vrátit dvojku. Inverzní funkce, značíme f⁻¹, by měla zobrazovat prvky opačně, tj. takto:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(2)&=&1\\ f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(6)&=&3\\ f^{-1}(8)&=&4\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Jak to zařídit? Pokud původní funkce vracela dvojnásobek parametru x, pak inverzní funkce by měla naopak vracet polovinu parametru x. Pokud vložíme trojku, máme po zdvojnásobení šestku. Pokud vezmeme polovinu z šestky, máme zpět trojku. Inverzní funkce by pak měla takový zápis:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definice

Teď si nadefinujeme inverzní funkci pořádně. Mějme tedy funkci f s definičním oborem D(f) a oborem hodnot H(f). Z definice funkce platí, že pro všechny prvky x z definičního oboru D(f) máme nějaký prvek y z oboru hodnot H(f), pro který platí f(x) = y.

Inverzní funkce f⁻¹ je pak funkce, pro kterou platí:

$$f(x)=y\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x.$$

Co nám tato definice říká? Že pokud funkci f zavoláme s argumentem x a získáme tím hodnotu y, pak musí jít inverzní funkce zavolat s argumentem y a musí vrátit hodnotu x.

Vše si ještě ukážeme na obrázcích. První obrázek představuje původní funkci f, která vrací dvojnásobek předané hodnoty. Levé kolečko představuje definiční obor, množinu, ze které vybíráme hodnoty za x. Pravé kolečko představuje obor hodnot, množinu hodnot, kterých může funkční hodnota nabývat. Šipky pak ukazují, jaký vstup se zobrazí na který výstup. Šipek by tam samozřejmě mělo být nekonečně mnoho, tohle je jen malá část funkce.

Následuje obrázek inverzní funkce. Inverzní funkce bude vypadat velmi podobně, především se změní směr šipek a změní se definiční obor a obor hodnot. Ty se také prohodí.

Vidíme, že původně funkce zobrazovala z D(f) do H(f), ale inverzní funkce zobrazuje naopak, z H(f) do D(f). Platí tak, že definiční obor původní funkce se rovná oboru hodnot inverzní funkce a obor hodnot původní funkce se rovná definičnímu oboru inverzní funkce.

Existence inverzní funkce

Předně platí, že inverzní funkce nemusí vždy existovat a to kvůli základní vlastnosti funkce. Pokud vezmeme dva stejné prvky definičního oboru a = b, tak nám musí funkce vrátit vždy stejný výsledek f(a) = f(b). Když se vrátíme k té funkci, která vracela dvojnásobek, tak vždy musí platit, že f(5) = 10. Nemůže se stát, že by nám funkce vrátila třeba třináct: f(5) = 13 — toto nesmí u funkce nastat, z definice.

A teď zkusme analyzovat situaci, kdy máme například kvadratickou funkci f(x) = x². Co nám funkce vrátí, pokud ji zavoláme s argumenty x₁ = 2 a x₂ = −2? Funkce v obou případech vrátí hodnotu 4:

$$\begin{eqnarray} f(2)&=&4\\ f(-2)&=&4 \end{eqnarray}$$

Potud v pořádku. Jak by ale vypadala inverzní funkce? Pokud bychom sestavili inverzní funkci k této kvadratické funkci, muselo by zároveň platit:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(4)&=&-2 \end{eqnarray}$$

A to jak víme není možné. Funkce nemůže vrátit různé výsledky pro stejné argumenty. Kdy tak inverzní funkce existuje? Pokud pro žádné dva vstupní argumenty nevrátí funkce stejnou hodnotu. Což je přesně definice prosté funkce:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Inverzní funkce k funkci f existuje právě tehdy, když je funkce f prostá. Ještě si na obrázcích objasníme, proč opravdu nemůže existovat inverzní funkce k funkci, která není prostá. Zobrazíme si pomocí šipek část kvadratické funkce f(x) = x²:

Pokud bychom se pokusili obrátit šipky, dostali bychom takový obrázek:

Dostáváme obrázek, kde z jednoho bodu vedou dvě šipky do různých čísel v druhé množině. To nesplňuje definici funkce, proto inverzní funkce nemůže existovat.

Grafický význam

Pokud si vezmete graf funkce, tak pokud existuje inverzní funkce, pak tyto grafy budou osově souměrné s osou první a třetího kvadrantu — což zároveň představuje graf funkce f(x) = x.

Výpočet inverzní funkce

Pokud máte zadanou funkci a je úkolem vypočíst k ní inverzní funkci, postupuje se tak, že se z funkci postavíte do rovnice a osamostatníte z rovnice x. Takže prvně jmenovanou lineární funkci f(x) = 2x upravíme takto:

$$y=2x$$

Tímto začneme. Cílem je vyjádřit x vzhledem k y. Tady to jde celkem rychle, prostě vydělíte rovnici dvěma

$$\frac{y}{2}=x$$

a máte vyjádřené x. Inverzní funkce tak bude $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Další příklad:

$$f(x)=4x-7$$

Dosadíme do rovnice a osamostatníme x:

$$\begin{eqnarray} y&=&4x-7\quad/+7\\ y+7&=&4x\quad/:4\\ \frac{y+7}{4}&=&x \end{eqnarray}$$

Inverzní funkce tak bude vypadat takto:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Můžeme si to vyzkoušet. Vypočítáme funkční hodnotu původní funkce s hodnotou tři:

$$f(3)=4\cdot3-7=12-7=5$$

Pokud jsme spočítali inverzní funkci správně, měly bychom po zavolání s hodnotou 5 získat zpátky trojku:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Další příklad:

$$f(x)=x^2+1$$

Osamostatníme x:

$$\begin{eqnarray} y&=&x^2+1\quad/-1\\ y-1&=&x^2\quad /\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}&=&\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$$

Teď jsme se dostali do nepříjemné situace. x² totiž nemůžeme jen tak odmocnit na x, musíme přidat absolutní hodnotu, tedy:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Když dosadíme do předchozí rovnice:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Tím ale dostáváme dva výsledky, jeden kladný a druhý záporný:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&\sqrt{y-1}\\ x_2&=&-\sqrt{y-1} \end{eqnarray}$$

Výsledkem je, že pro jedno x máme dvě různá y, s výjimkou toho, kdy bude odmocnina nulová. Nicméně můžeme najít inverzní funkci na určitém intervalu. Když si prohlédneme graf funkce:

tak zjistíme, že inverzní funkce by mohla existovat na intervalu <0,∞). Můžeme tak vzít pouze osamostatnění pro x₁. V tuto chvíli dostaneme funkci, jejíž graf uvidíte na obrázku:

Můžeme tak říci, že na daném intervalu existuje inverzní funkce

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$