Homogenní systémy lineárních rovnic
Kapitoly: Systémy rovnic, Cramerovo pravidlo, Homogenní systémy
Systém rovnic označíme za homogenní, pokud je na pravé straně každé rovnice nula.
Definice homogenního systému
Obecný tvar homogenní soustavy rovnic vypadá takto:
$$ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&0\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&=&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&0\\ \end{array} $$
Tato soustava obsahuje m rovnic o n neznámých a pravé strany všech rovnic jsou rovny nule. Pokud by nebyly rovny nule, nejednalo by se o homogenní soustavu rovnic. Předchozí soustavu rovnic můžeme přepsat do matice tak, že do matice postupně přepíšeme všechny koeficienty, tj. všechny výrazy aij a to na tytéž pozice, na jakých se nachází v soustavě. Pravý nulový sloupec do matice přepisovat nebudeme, protože je to zbytečné. Takže takto:
$$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{array} \right) $$
Tato matice představuje výše popsanou soustavu rovnic o m rovnic a n neznámých. Každý řádek této matice odpovídá jedné rovnici. Celý systém pak můžeme zapsat jako
$$Ax,=,0$$
Základní vlastnosti systému
Z článku o systémech lineárních rovnic a z Frobeniovy věty můžeme získat několik zajímavých tvrzení o homogenních systémech rovnic.
- Každý homogenní systém má řešení.
- Množina všech řešení homogenního systému vždy obsahuje nulové řešení. Pokud za všechny proměnné dosadíme nulu, získáme m rovnic 0 = 0.
- Z Frobeniovy věty víme, že k zapsání obecného řešení systému rovnic je zapotřebí n − k parametrů, kde n je počet proměnných a k je hodnost rozšířené matice systému, v našem případě k = rank(A). Pokud n = k, pak nepotřebujeme žádný parametr a má systém jediné, nulové, řešení. Přitom n = k právě když je matice A regulární — pokud neobsahuje žádný lineárně závislý řádek.
- Z předchozího bodu také plyne, že systém má nenulové řešení právě tehdy, když je v matici A nějaký lineárně závislý řádek.
- Pokud má systém více neznámých než rovnic, má systém nenulové řešení. Pokud má více neznámých než rovnic, tak to znamená, že k = rank(A) může být roven maximálně počtu rovnic, tedy m. A pokud platí, že k < n, pak n − k > 0 a tím pádem budou existovat další řešení, která popíšeme s pomocí n − k parametrů.
Vlastnosti množiny řešení
- Součet libovolných řešení systému Ax = 0 je také řešením systému. Pokud x1 a x2 jsou řešením systému, pak platí Ax1 = 0 a Ax2 = 0 a dle předchozího tvrzení platí také A(x1 + x2) = 0.
Důkaz je jednoduchý. Předpokládejme, že platí Ax1 = 0 a Ax2 = 0 a dokážeme A(x1 + x2) = 0. Sčítání a násobení matic splňují distributivní zákon, takže můžeme napsat
$$A(x_1+x_2) = Ax_1+Ax_2.$$
Dle předpokladu ale Ax1 = 0 a Ax2 = 0, takže výraz Ax1 + Ax2 můžeme přepsat na 0+0. Dostáváme rovnici 0 = 0, takže věta platí.
Konkrétně: pokud máme dvě řešení systému: x1 = (0, 5, 6) a x2 = (7, 3, 5), pak řešením systému je i x3 = x1 + x2 = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11).
- Pro každou konstantu c ∈ ℝ platí, že c-násobek řešení systému je také řešení. Pokud je x1 řešením systému Ax = 0, pak také c · x1 je řešením systému.
Důkaz je opět jednoduchý. Předpokládejme, že x1 je řešením systému Ax = 0 a c ∈ ℝ. Pak dokážeme, že platí rovnost
$$A(cx_1)=0$$
protože je c číselná konstanta, můžeme ji vytknout před celý výraz:
$$A(cx_1) = c\cdot Ax_1$$
Dle předpokladu platí Ax1 = 0, takže z c · Ax1 dostáváme c · 0 = 0.
- Důsledkem předchozím dvou bodů je, že jakákoliv lineární kombinace řešení systému je také řešením tohoto sytému.
Nyní se nabízí otázka — pokud jsou některá řešení pouze lineární kombinací jiných řešení, existuje nějaká množina řešení, skrze kterou jsme schopní vygenerovat všechna ostatní řešení?
Zkusme nyní řešení systému zapsat do matice. Tzn. pokud je $x_1 = (x_{11}, x_{12}, …, x_{1n})$ řešením a $x_2 = (x_{21}, x_{22}, …, x_{2n})$ je řešením a tak dále pro xi, vytvoříme matici F, která bude obsahovat tato řešení jako své sloupce:
$$ F=\begin{pmatrix} x_{11}&x_{21}&…\\ x_{12}&x_{22}&…\\ \vdots&\vdots&\ddots\\ x_{1n}&x_{2n}&… \end{pmatrix} $$
Protože můžeme vytvořit nekonečně mnoho různých lineárních kombinací, a tím i řešení, bude matice F nekonečná. Nás bude nyní zajímat, jestli lze matici F zmenšit tak, aby obsahovala pouze konečné množství sloupců, pomocí kterých můžeme vygenerovat všechna ostatní řešení.
Kolik sloupců zbyde? Matice F má n řádků, protože původní systém měl n proměnných a každý sloupec představuje jedno řešení. Maximální možná hodnost matice F tak je právě n. Pokud má matice F více než n sloupců, je jisté, že alespoň jeden sloupec je lineárně závislý. Z toho vyplývá, že celou množinu řešení jsme schopni zapsat do matice o maximálním rozměru n × n a ostatní řešení vypočíst pomocí lineárních kombinací. Jakýkoliv další sloupec by byl jistě nadbytečný. Otázkou zůstává, jestli nejsme schopni velikost matice F ještě snížit.
Fundamentální systém řešení
Z Frobeniovy věty víme, že obecné řešení systému Ax = 0 můžeme vyjádřit pomocí n − k parametrů, kde n je počet proměnných a k = rank(A). Parametry si označíme t1, t2, …, tn − k. Jak bychom s těmito parametry mohli vygenerovat dvě lineárně nezávislá řešení?
V prvním případě dosadíme za parametr t1 jedna a za ostatní nulu. Tedy t1 = 1 a t2 = t3 = … = tn − k = 0. Ve druhém případě uděláme totéž, jen jedničku posuneme k druhému parametru: t2 = 1 a t1 = t3 = t4 = … = tn − k = 0. Pokud tyto parametry dosadíme do obecného řešení, získáme dvě různá řešení, která jsou lineárně nezávislá.
Příklad: nechť
$$(t_1, t_2, t_3, 2t_1, 4t_3)$$
je obecné řešení nějakého homogenního systému rovnic se třemi parametry. Pro volbu parametrů t1 = 1, t2 = t3 = 0 dostaneme partikulární řešení x1 = (1, 0, 0, 2, 0), pro t1 = t3 = 0, t2 = 1 dostaneme x2 = (0, 1, 0, 0, 0) a pro t1 = t2 = 0, t3 = 1 dostaneme x3 = (0, 0, 1, 0, 4). Zapíšeme si partikulární řešení do matice F:
$$F=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 2&0&0\\ 0&0&4 \end{pmatrix} $$
Už z prvních třech řádků je jasně vidět, že sloupce jsou lineárně nezávislé. Sestavili jsme tak tři různá partikulární řešení, která jsou navzájem lineárně nezávislá. Zároveň platí, že jakékoliv další řešení je lineárně závislé. Pokud si zvolíme parametry t1 = 1, t2 = 2, t3 = 0 a vypočítáme řešení, dostaneme x4 = (1, 2, 0, 2, 0).
Toto řešení můžeme ale vyjádřit jako x1 + 2x2 = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). Podobně pro ostatní řešení. Získali jsme tam matici, která má tři sloupce a definuje všechna řešení systému rovnic.
Postup můžeme zobecnit. Máme-li systém Ax = 0 a jeho obecné řešení, které používá n − k parametrů, pak řešení systému můžeme vyjádřit pomocí n − k partikulárních lineárně nezávislých řešení systému. Takové řešení pak nazveme fundamentální systém řešení.
Tato řešení získáme například tak, že za každý parametr t1, t2, …, tn − k postupně dosadíme jedničku a zbytek parametrů bude nulový. Tím získáme n − k řešení systému, která jsou lineárně nezávislá.
Toto přitom není jediný postup, jak vytvořit n − k lineárně nezávislých partikulárních řešení systému. Můžeme za parametr ti místo jedničky dosadit jakékoliv nenulové číslo a stejně získáme lineárně nezávislá řešení.
Ještě jednou definice fundamentálního systému řešení systému Ax = 0: jedná se o množinu partikulárních řešení {x1, x2, …, xn − k} takovou, že
- x1, x2, …, xn − k jsou lineárně nezávislé,
- libovolné řešení systému Ax = 0 lze vyjádřit lineární kombinací partikulárních řešení x1, x2, …, xn − k.
Příklad
Vyřešte homogenní systém rovnic a určete fundamentální systém řešení:
$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2x_1&-&5x_2&+&7x_3&+&x_4&=&0\\ 4x_1&+&3x_2&+&x_3&&&=&0\\ 2x_1&-&18x_2&+&20x_3&+&3x_4&=&0\\ 8x_1&-&20x_2&+&28x_3&+&4x_4&=&0\\ \end{array} $$
Matice systému A bude mít tvar
$$ A=\begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 8&-20&28&4 \end{pmatrix} $$
Můžeme si spočítat determinant této matice. Ten je roven nule. Matice systému je tak singulární a systém má nenulové řešení. Nalezneme obecné řešení soustavy pomocí Gaussovy eliminační metody. Poslední, čtvrtý, řádek je roven součtu prvních třech řádků. Vynulujeme tak celý čtvrtý řádek. Poté vynásobíme první řádek třemi, druhý minus jedničkou a třetí řádek bude roven součtu prvních dvou řádků:
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 8&-20&28&4 \end{pmatrix} &\sim& \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-15&21&3\\ -4&-3&-1&0\\ 2&-18&20&3\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-15&21&3\\ -4&-3&-1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
Další úpravy už nemají smysl. Vidíme, že matice má hodnost dva, rank(A) = 2. K zapsání obecného řešení systému budeme potřebovat dva parametry, nazveme je s a t. K zapsání fundamentálního řešení budeme potřebovat dvě partikulární řešení.
Nyní jsme se dostali k této soustavě rovnic:
$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2x_1&-&5x_2&+&7x_3&+&x_4&=&0\\ 4x_1&+&3x_2&+&x_3&&&=&0\\ \end{array} $$
Z druhé rovnice osamostatníme x3.
$$x_3=-4x_1-3x_2$$
Za x1 a x2 dosadíme parametry, takže s = x1 a t = x2. Pak můžeme napsat, že x3 = −4s − 3t. Zbývá vypočítat x4. To zjistíme z první rovnice:
$$\begin{eqnarray} x_4&=&-2s+5t-7(-4s-3t)\\ x_4&=&-2s+5t+28s+21t\\ x_4&=&26s+26t\\ x_4&=&26(s+t) \end{eqnarray}$$
Obecné řešení je tak rovno: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Abychom získali fundamentální systém řešení, musíme najít dvě partikulární řešení (tj. dvě konkrétní řešení), která jsou lineární nezávislá. Ta nalezneme tak, že za parametry nejprve dosadíme s = 1, t = 0 a pak s = 0, t = 1. Pro první dvojici parametrů máme partikulární řešení
$$X_1=(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 0, -4, 26)$$
a pro druhou dvojici
$$X_2=(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 1, -3, 26).$$
Tato řešení jsou lineárně nezávislá. Protože jsme v obecném řešení použili dva parametry, stačí nám k vytvoření fundamentálního systému dvě partikulární řešení. Fundamentální systém řešení tak vypadá takto
$$\left\{(1, 0, -4, 26), (0, 1, -3, 26)\right\}.$$
Můžeme si také ověřit, že tato dvě řešení jsou platná dosazením do původních rovnic. Pro X1 dostáváme tyto rovnice:
$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2\cdot1&-&5\cdot0&+&7\cdot(-4)&+&26&=&0\\ 4\cdot1&+&3\cdot0&-&4&&&=&0\\ 2\cdot1&-&18\cdot0&+&20\cdot(-4)&+&3\cdot26&=&0\\ 8\cdot1&-&20\cdot0&+&28\cdot(-4)&+&4\cdot26&=&0\\ \end{array} $$
Po úpravách máme:
$$\begin{eqnarray} 2-28+26&=&0\\ 4-4&=&0\\ 2-80+78&=&0\\ 8-112+104&=&0 \end{eqnarray}$$
Vidíme, že každá rovnice vyjde 0 = 0. Zdá se, že jsme počítali správně.