Elipsa

Elipsa je kuželosečka. Základní vlastností elipsy je, že každý bod elipsy má od daných dvou bodů v rovině stejný součet vzdáleností. Těmto bodům se říká ohniska.

Jak vypadá elipsa

Mějme dány dva body — E a F, ohniska elipsy e. Pak pro každý bod X elipsy e musí platit, že

$$|XE|+|XF|=K,$$

kde K je nějaké konstantní číslo. Toto číslo je tak pro všechny body elipsy stejné. V případě, že E = F, dostáváme kružnici a platí, že |XE|+|XF| se rovná průměru kružnice (neboli |XE| musí být poloměr kružnice). Obrázek elipsy:

Stejný součet vzdáleností od ohnisek pak znamená, že součet |EK|+|FK| musí být stejný jako součet |EL|+|FL| a stejně tak pro všechny ostatní body, které jsou na elipse.

Popis a vlastnosti elipsy

• Elipsa má dvě ohniska, označme je E a F.
• Elipsa obsahuje dva hlavní vrcholy, A a B a dva vedlejší vrcholy, C a D.
• Střed elipsy, na obrázku vrchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohnisky.
• Přímka, která prochází hlavními vrcholy (a také ohnisky), se nazývá hlavní osa elipsy, přímka která prochází vedlejšími vrcholy se nazývá vedlejší osa elipsy.
• Úsečka, která spojuje libovolný hlavní bod a střed elipsy, se nazývá hlavní poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky AS a BS.
• Úsečka, která spojuje libovolný vedlejší bod a střed elipsy, se nazývá vedlejší poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky CS a DS.
• Konstanta K, která je rovna součtu délek spojnic bodu elipsy s ohnisky, je rovna délce úsečky AB. To je hezky vidět, pokud chceme vypočítat součet pro bod B. Pro bod platí, že součet má tvar: |FB|+|EB|. Úsečka EB nám pokryje téměř celou úsečku AB a zbylá část, úsečka AE je stejně dlouhá jako úsečka FB. Proto |FB|+|EB| = |AB|.

Excentricita elipsy

Další důležitou konstantou v elipse je excentricita, značíme e, neboli výstřednost. Excentricita je rovna vzdálenosti ohnisek od středu elipsy, tedy e = |ES| = |FS|. Jak můžeme excentricity vypočítat? Nejdříve zjistíme, čemu je rovna vzdálenost |ED| a |FD|.

Víme, že součet K je roven délce |AB|. Přitom je z obrázku patrné, že úsečky ED a FE budou stejně dlouhé, protože přímka CD je osou elipsy. Délka obou úseček tak bude rovna polovině délky |AB|, což je délka hlavní poloosy elipsy. Pokud označíme délku hlavní poloosy jako a a délku vedlejší poloosy jako b, dostaneme obrázek:

Excentricitu už pak můžeme vyjádřit pomocí Pythagorovy věty jako

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Čím je elipsa více podobná kružnici, tj. čím méně zploštělá je, tím menší má excentricitu.

Rovnice elipsy

Jakým způsobem odvodíme rovnici elipsy? Jako první potřebujeme nějakou hezkou elipsu, takže zvolíme elipsu, jejíž hlavní a vedlejší osa jsou rovnoběžné s osami x a y a střed elipsy se nachází v počátku souřadnicového systému, tj. má souřadnice [0, 0]. Taková elipsa vypadá například takto:

Otázkou zní, jak obecně vyjádřit bod X, který je na obrázku vyznačen modrou barvou. Víme, že z definice elipsy musí platit:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Protože délka úsečky AB je rovná dvojnásobku délky hlavní poloosy a, můžeme napsat:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Dále musíme nějak vyjádřit délku úseček EX a FX. Začneme s úsečkou FX. Dokreslíme do obrázku další dvě úsečky tak, aby nám vznikl pravoúhlý trojúhelník.

Bod X má souřadnice [x, y], takže délku úsečky PX je rovna y-ové souřadnici bodu X, tedy |PX| = y. Délka PF je rovna |e − x|. Podle Pythagorovy věty pak musí platit:

$$|FX|=\sqrt{|e-x|^2+y^2}=\sqrt{(x-e)^2+y^2}$$

Podobně, jako jsme vyjádřili |FX| vyjádříme i |EX|. Délka PX bude stejná, opět y a délka PE se bude rovnat x + e. Dostáváme:

$$|EX|=\sqrt{(x+e)^2+y^2}$$

Tyto nové výrazy dosadíme do předchozí rovnice:

$$\sqrt{(x+e)^2+y^2}+\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a$$

Teď by následovala velká hromada úprav, až byste nakonec dostali tento hezký tvar:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Tato rovnice nicméně počítá s elipsou o středu v počátku. Abychom získali obecnější rovnici, musíme do rovnice započítat i souřadnice středu elipsy. Elipsa o středu v bodě [m, n] má rovnici:

Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou x:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou y:

$$\frac{(x-m)^2}{b^2}+\frac{(y-n)^2}{a^2}=1$$

Příklad: abyste věřili, že rovnice skutečně funguje, zkusíme si do ní dosadit bod X z obrázku. Pro obrázek platí a = 5, b = 4 a X = [2,31; 3,55] (souřadnice bodu jsou zaokrouhlené, výsledek nakonec také musíme zaokrouhlit). Dosazením do levé části rovnice získáme:

$$\frac{2{,}31^2}{5^2}+\frac{3{,}55^2}{4^2}=\frac{5{,}3361}{25}+\frac{12{,}6025}{16}=0{,}213444+0{,}78765625\approx1$$

Získali jsme tak rovnost 1 = 1.