Doplňkový jev

Doplňkový jev lze občas využít při počítání pravděpodobnosti nějakého jevu. Doplňkový jev k jevu A je jev A', který obsahuje všechny možné výsledky, kterou mohou nastat, ale nejsou v jevu A.

Definice

Definice náhodného pokusu a jevu jsou uvedeny v kapitole pravděpodobnost. Stručné zopakování: náhodný pokus je například hod kostkou, množina všech možných výsledků obsahuje ty výsledky, které mohou nastat, tj. v případě hodu kostkou je to množina $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$, jev je podmnožina $\omega$ a může to být „na kostce padlo liché číslo“, tj. A = {1, 3, 5}.

Pokud máme jev A, zůstaneme u „na kostce padlo liché číslo“, tj. A = {1, 3, 5}, tak jevem doplňkovým rozumíme jev $A' = \omega \setminus A$. Jsou to tak všechny ostatní jevy; ty, které jsou v $\omega$, ale nejsou v A. V našem případě, kdy máme jev „na kostce padlo liché číslo“ by doplňkovým jevem byl jev „na kostce padlo sudé číslo“. Doplňkovým jevem k jevu „padne číslo 2 nebo 5“ je jev „padne číslo 1, 3, 4 nebo 6“.

Abychom se drželi množinové terminologie, tak pokud $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ a máme jev A = {1, 2} („padne číslo menší než tři“), pak $A' = \omega \setminus A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \setminus {1, 2} = {3, 4, 5, 6}$. Slovně bychom to mohli popsat jako „padne číslo větší než dva“.

Pro pravděpodobnost doplňkového jevu platí jednoduchý vztah: pokud je pravděpodobnost jevu A 25 %, jaká je pravděpodobnost jevu A'? V podstatě se ptáme — jaká je pravděpodobnost, že nenastane jev A? Jev A nastane s pravděpodobností 25 % a tak jev A nenastane s pravděpodobností 100 − 25 = 75 %. Toto platí vždy, takže můžeme říci, že doplňkový jev A' nastane s pravděpodobností 1 − P(A):

$$ P(A') = 1 - P(A) $$

Řešené příklady

1. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami nepadnou dvě šestky? V kapitole o pravděpodobnosti jsme spočítali, že existuje celkem 36 různých možností, které mohou padnout při hodu dvěma kostkami. Nyní bychom měli spočítat, kolik z těchto možností neobsahuje dvě šestky. My můžeme jít opačnou cestou: spočítáme, kolik dvojic obsahuje dvě šestky, spočítáme pravděpodobnost tohoto jevu a tu pak odečteme od jedničky.

   Je jen jedna dvojice, která obsahuje dvě šestky, [6, 6], takže pravděpodobnost tohoto jevu A je:

   $$ P(A) = \frac{1}{36} $$

   Pravděpodobnost doplňkového jevu A', tj. jevu „nepadnou dvě šestky“ pak je:

   $$ P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} = 97{,}2222… \% $$

2. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami nám padne alespoň jedna šestka? Tuto úlohu můžeme opět řešit přímo a vypsat si všechny variace, ve kterých nám padla jedna šestka, dvě šestky a tři šestky. Můžeme na to ale jít od lesa a spočítat doplňkový jev, tj. jev „nepadla ani jedna šestka“. Nejprve si spočítáme, kolik existují celkem možností, které nám můžou padnout. Máme tři kostky, na každé mohou padnout čísla 1 až 6, což dává celkem 6³ = 216 možností.

   Teď musíme spočítat ty možnosti, ve kterých není ani jedna šestka. Na každé kostce tak musí padnout číslo od 1 do 5, existuje tak celkem 5³ = 125 možností, které neobsahují číslo 6. Teď už to jen dosadíme do vzorce:

   $$ P(A) = \frac{125}{216}=57{,}87 \% $$

   Toto byl jev A — „nepadla ani jedna šestka“. My chceme znát doplňkový jev: „padla alespoň jedna šestka“. Dosadíme tak do vzorce:

   $$ P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} = 42{,}1296 \% $$

3. Student si na zkoušce z matematiky tahá 3 otázky ze 30 nabízených otázek. Z toho je 10 otázek z algebry, 15 z analýzy a 5 z geometrie. Jaká je pravděpodobnost, že si vytáhne alespoň dvě otázky ze stejného oboru? Opět bude jednodušší tuto úlohu řešit pomocí doplňkového jevu, který zní: jaká je pravděpodobnost, že si student vytáhne z každého oboru právě jednu otázku?

   Nejprve spočítáme, kolik různých trojic si student může vytáhnout. K tomu budeme potřebovat kombinace. Máme celkem 30 otázek a taháme z nich 3, přitom nezáleží na pořadí. To nám dává kombinační číslo

   $$ {30 \choose 3} = 4060 $$

   Dále kolik existuje různých možností, kdy si student vytáhne z každého oboru právě jednu otázku? Pomocí kombinatorického pravidla součinu zjistíme, že je to celkem 10 · 15 · 5 = 750. Nakonec dosadíme do vzorce pro výpočet pravděpodobnosti:

   $$ P(A) = \frac{750}{4060}=18{,}47 \% $$

   My ale chceme znát doplňkový jev, takže výsledek jen odečteme od jedničky:

   $$ P(A') = 1 - \frac{750}{4060} = \frac{3310}{4060} = 81{,}53 \% $$