Derivace funkce

Derivace je základní pojem v diferenciálním počtu, má významnou roli například při určování průběhu funkce a je na jedné straně nenáviděna studenty a na druhou stranu derivaci spočítá i patřičně cvičená opice. V tomto článku bude pouze popsána a vysvětlena definice derivace a související pojmy. Řešené příklady naleznete v sousedních článcích: jednoduché příklady na derivace a složitější příklady. Opačným procesem k derivování je integrace.

Co je to derivace

Než se vůbec dostaneme k definici derivace, řekneme si, co vůbec derivací spočítáme a k čemu nám to následně může být dobré.

Derivací funkce získáme směrnici tečny. To je asi hodně sprostých slov pohromadě, takže od začátku. Jednoduše řečeno, tečna je přímka, která se daného grafu dotýká právě v jednom bodě. Přesná definice to není, tu si přečtěte třeba na Wikipedii, ale zhruba stačí. Nyní si prohlédněte následující obrázek:

Černá křivka je graf funkce y = x². Modrá přímka je tečna k této funkci v bodě D = [1,1], označen červeně. Zeleně je vyznačen úhel α, který svírá tečna s osou x — přesněji s kladnou poloosou x. Nyní si definujeme pojem směrnice tečny. Směrnice tečny je v tomto obrázku tangens úhlu alfa. Tangens je klasická goniometrická funkce, díky které můžeme například počítat úhly a velikosti stran v trojúhelníku. Takže směrnice tečny je tangens úhlu, který daná tečna svírá s kladnou poloosou x. A tuto směrnici získáme právě pomocí derivací.

Dále rozlišujeme pojmy derivace funkce v bodě a derivace funkce. Derivace funkce v bodě představuje právě směrnici tečny v daném bodě. Derivace funkce je pak jiná funkce, která předepisuje směrnice pro obecný argument x. Příklad následuje.

Motivace

Pomocí derivace tak umíme spočítat směrnice tečen. K čemu to může být dobré? Prohlédněte si následující obrázek:

Na obrázku je opět funkce y = x² a čtyři vyznačené tečny. Dvě zelené a dvě modré. Všimněte si, že funkce y = x² je na intervalu (−∞,0) klesající, zatímco na intervalu (0,∞) je rostoucí. Co ale zároveň platí pro jejich tečny, respektive pro úhel, který svírají s kladnou poloosou? Modré tečny, což jsou tečny, která prochází body, které přísluší intervalu, ve kterém funkce roste, svírají s osou úhel menší než 90 stupňů. Zatímco zelené tečny svírají s osou úhel, který je větší než 90 stupňů. Jak se to projeví do směrnic tečen?

K tomu potřebujeme znát chování funkce tangens. Z následující grafu se dovíme, že pokud má úhel velikost menší než 90 stupňů, pak je hodnota tangensu kladná (modře zvýrazněná část); naopak pokud je úhel větší než 90 stupňů, ale menší než 180 stupňů (tj. menší než Pí radiánů), pak je hodnota tangensu záporná. Jaký tak můžeme učinit závěr? Pokud je směrnice (nezapomeňte, že směrnice je právě tangens úhlu) tečny v daném bodě kladná, pak je funkce v daném bodě rostoucí, pokud je záporná, pak je klesající.

Definice

Než dojdeme k samotné definici derivace, musíme ujít dlouhou cestu. A budeme k tomu potřebovat limitu funkce. Pokud neovládáte limity, vraťte se k nim nebo si jen odskočte ke vzorečkům, další povídání asi nebude pro vás.

Než přejdeme ke směrnici samotné tečny, zastavíme se u směrnici sečny, což bude jednodušší. Sečna je přímka, která protíná graf ve dvou bodech. Teď si zkusíme odvodit, jak bychom tuto směrnici spočítali. Podívejte se na obrázek:

Máme tam graf funkce x² + 1 a sečnu s, která protíná graf ve dvou bodech [0,5; 1,25] a [2, 5]. Tyto body jsou zvýrazněné modře. Protože nás nebudou příliš zajímat konkrétní hodnoty, jsou v grafu tyto hodnoty vyznačeny obecně jako a a b a f(a) a f(b). Přičemž f(a) je hodnota funkce f v bodě x = a. Což platí: hodnota naší funkce x² + 1 v bodě x = 2 je 2² + 1 = 5.

Nyní jde o to odvodit, jak vypočítat úhel označený jako alfa, tj. úhel, který svírá sečna s osou x. Obrázek si nejprve trochu upravíme, abychom tam získali nějaký trojúhelník, bude se nám s tím lépe pracovat.

Co jsme udělali? Spojili jsme úsečkou body, ve kterých se sečna protínala s grafem funkce y = x² + 1 a dokreslili jsme na pravoúhlý trojúhelník ABC. V čem jsme si pomohli? Úhel označený jako β má totiž stejnou velikost jako úhel α (jsou to souhlasné úhly). Přitom ale známe velikosti stran AB a BC. Platí, že |AB| = b − a (je to zkrátka vzdálenost bodu b od a). Podobně platí, že délka |BC| = f(b)−f(a). Jak nyní spočítáme velikost úhlu β, respektive α?

Chce vědět, jak se počítá tangens. Tangens je poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně, tedy tangens úhlu alfa (beta) se rovná poměru velikosti strany BC ku velikosti strany AB. Zapíšeme si to:

$$\mbox{tan}(\beta)=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Protože směrnice je tangens úhlu, tak jsme tímto vzorcem spočítali směrnici sečny. Jak nám to ale pomůže, když chceme spočítat směrnici tečny? Představte si, že budeme k sobe přibližovat body A a C tak dlouho, až spolu splynou. Přiblížení znázorňuje obrázek:

Čím více přibližujeme horní bod průniku tomu spodnímu bodu, tím blíže má sečna k tomu, aby se stala tečnou. Původní sečna/přímka CA měla do tečny daleko. Když přiblížíme bod C bodu A, získáme např. sečnu C₁A, která je už tečně podobnější. Sečna C₂A je ještě více podobnější atd.

Kdy se sečna stane tečnou? Ve chvíli, kdy oba body průniku splynou v jeden, tj, když by pro nějaký bod C_n platilo, že C_n = A. V tu chvíli máme ze sečny tečnu, což jsme chtěli. Otázkou je, jak spočítat směrnici, protože nemůžeme jen tak odečíst tyto dva body, protože jsou stejné:

$$\mbox{tan}(\beta)=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac00.$$

Toto neklapne, takto to počítat nemůžeme. Ne nadarmo jsme k sobě dané body pouze přibližovali. Budeme totiž potřebovat limitu. Chceme teď spočítat směrnici tečny v daném bodě [a, f(a)] a máme k dispozici směrnice všech možných sečen (ty už umíme spočítat). Budeme tedy postupně počítat směrnice sečen, které budeme přibližovat tak, aby nám vznikla tečna. Budeme tedy přibližovat b k a. Nemůžeme body přiblížit tak, aby se rovnaly, ale můžeme je přiblížit tak, aby se jejich rozdíl limitně blížil nule. Vida, limita. Tedy budeme b přibližovat k a, až se limitně budou rovnat. Tedy spočítáme limitu, kdy se b blíží k a. To je vše, vzorec vypadá takto:

$$\mbox{tan}(\alpha)=\lim_{b\rightarrow a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Tuto limitu nazýváme derivací funkce f(x) v bodě x = a. Připomínám, že úhel α je rovný úhlu β. Obyčejně nepoužíváme proměnné a a b, ale hledáme derivaci v bodě x₀ a přibližujeme se s bodem x. Můžeme pak psát:

$$\mbox{tan}(\alpha)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Zatím máme, podobně jako u spojitosti funkce, definovanou derivaci v jednom bodě. Pokud máme funkci f(x), která je derivovatelná na otevřeném intervalu I, potom hodnoty této derivace definují funkci $f^\prime(x)$, kterou nazýváme derivace funkce.

Derivaci zapisujeme pomocí čárky v horním indexu, asi takto:

$$(x^2)^\prime=2x,\qquad f^\prime(x)=,\ldots,\qquad f^\prime(x_0)=,\ldots$$

Setkat se můžete i s jinou formou zápisu, pomocí dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^\prime(x)$$

Ve vzorci, který jsme použili před chvílí, tak můžeme tangens zaměnit za značení derivace:

$$f^\prime(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Můžeme definovat také jednostrannou derivaci zprava či zleva pomocí jednostranných limit. Tím se teď nebudeme zabývat, není to zase tak důležité.

Trochu jiná definice

Jiná definice derivace funkce v bodě vypadá takto:

$$f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Jak se k takové definici dostaneme? Stačí jen trochu pozměnit obrázek, ze kterého jsme vycházeli. Můžeme si totiž vyjádřit vzdálenost bodu a od bodu b jako h = b − a. Tím pádem můžeme bod b zapsat jako a + h, protože h je právě vzdálenost b od a. Obrázek by vypadala takto:

Dole máme body a a a + h, na ose y pak f(a) a f(a + h). Nyní opět vytvoříme trojúhelník a spočítáme tangens úhlu beta. Jen s tím rozdílem, že délku strany AB už máme spočítanou, je to právě h.

Vlastní a nevlastní derivace

I derivace máme vlastní a nevlastní, podobně jako limity funkcí. Co to znamená? Derivace je vlastní, pokud je hodnota derivace v bodě rovna nějakému reálnému číslu. Derivace je nevlastní, pokud je rovna plus nebo minus nekonečnu. Jak si to představit geometricky? Kdy je směrnice „nekonečná“? Začneme lehčí otázkou — jak vypadá tečna, jejíž směrnice se rovná nějakému velkému číslu? Z grafu tangensu (viz výše) je vidět, že pokud je hodnota tangensu vysoká, pak se úhel blíží 90 stupňům (pokud se pohybujeme v intervalu (0, 180)).

Dalo by se z toho usuzovat, že pokud bude mít funkce v daném bodě nevlastní derivaci, pak bude tečna svírat s osou x pravý úhel, bude na ni kolmá. A taky že jo. Jak by mohl vypadat graf takové funkce a ve kterém bodě by byla tečna kolmá k ose x? Třeba funkce $y=\sqrt[3]{x}$:

Základní vlastnosti

• Funkce má v bodě derivaci, pokud je funkce definována i v epsilon okolí tohoto bodu. Pokud by toto okolí neexistovalo, nedopočítáme se limit, přes které je derivace definována.

• Jednoznačnost existence (nebo neexistence) limit nám implikují, že pokud v bodě existuje derivace, je jediná. Žádná funkce nemá v jednom bodě více derivací. Buď jednu, nebo žádnou.

• Podobně jako u jednostranných limit, pokud má funkce v bodě derivaci, pak se musí derivace zleva a zprava rovnat.

• Občas potřebujeme znát tzv. druhou derivaci. Nejedná se o nic složitého, prostě funkci zderivujeme jednou a poté výsledek zderivujeme ještě podruhé. Značíme to dvěma čárkami: f''(x) = (f'(x))'.

• Důležitá vlastnost: má-li funkce v bodě derivaci, pak je funkce v tomto bodě spojitá. Vychází opět z vlastností limit. Pozor na to, že to neplatí obráceně. Pokud je funkce spojitá v daném bodě, neznamená to, že je zde derivovatelná. Typickým příkladem je funkce f(x) = |x|. Graf je do špičky, nelze vypočítat směrnici tečny v této špičce. Můžete si zkusit vypočítat derivaci zleva a zprava, budou různé.

  

• Pomocí derivací lze řešit i výpočet některých limit, slouží k tomu L'Hospitalovo pravidlo.

Odkazy

Ve vedlejším článku naleznete seznam vzorců pro práci s derivacemi. Nějaké další najdete na Wikipedii.

Můžete si také prohlédnout řešené příklady derivací a pak případně těžší příklady na derivace. Spoustu vyřešených příkladů můžete také nalézt na zdejším fóru.

Potřebujete-li rychle zkontrolovat výpočet derivace, můžete použít nějaký matematický nástroj, jako třeba Wolfram|Alpha. Stačí do tamějšího vstupního pole napsat „derive x^2+6x“ (například) a Wolfram vám vypočítá derivace zadané funkce. Můžete taktéž použít český MAW.

Další materiál se nachází například na stránkách ČVUT.

V literárním světě si o derivaci můžete přečíst v knize Druhá derivace touhy od Tomáše Sedláčka. Asi to ale bude jiná derivace :-).