Úvodní příklady na derivace
V tomto článku si nejprve ukážeme několik užitečných vzorců pro práci s derivacemi a následně zkusíme vyřešit derivace nějakých funkcí — jednoduchých i složitých. Pokud nehledáte řešené příklady, ale potřebujete vysvětlit definici derivace, přejděte na článek derivace funkce.
Derivace polynomů
Nejprve se zmíníme o několika vzorcích, které budeme potřebovat při řešení derivace funkce, které jsou ve tvaru polynomu. V levé části je elementární funkce, kterou chceme zderivovat a na pravé straně je výsledná funkce po zderivování. Pro pořádek: c je konstanta (hned v prvním řádku je tak konstantní funkce) a derivujeme podle x.
$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&c\cdot x^{c-1} \end{eqnarray}$$
Několik konkrétních příkladů:
$$f(x)=5$$
Toto je konstantní funkce, aplikujeme tak první vzorec a dostáváme:
$$f^\prime(x)=0.$$
Lineární funkce f(x) = x má podle druhého vzorce derivaci
$$f^\prime(x)=1,$$
na tom není co dál zkoumat. Proto si zkusíme zderivovat funkci
$$f(x)=x^5.$$
Aplikujeme poslední vzorec, kde za c dosadíme exponent, to jest c = 5.
$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$
Vzorec by fungoval i pro záporný exponent, takže pokud chceme zderivovat funkci
$$f(x)=x^{-7},$$
dostáváme:
$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$
Pro další hrátky budeme potřebovat vzorce pro sčítání a násobení funkcí. A pokud bychom chtěli ze zderivované funkce získat zpět původní funkci, použijeme integrály.
Derivace sčítání
Pokud chceme vypočítat derivace funkce, která obsahuje nějaké výrazy v součtu, tak jednoduše vypočteme derivace vnitřních členů a sečteme mezivýsledky. Zapíšeme to takto:
$$(f_1(x)+f_2(x))^\prime=f_1^\prime(x)+f_2^\prime(x)$$
Jednoduchý příklad, mějme funkci f(x) = x + 5. Derivací této funkce bude:
$$f^\prime(x)=x^\prime+5^\prime=1+0=1.$$
Funkci jsme rozložili do dvou funkcí, takto:
$$\begin{eqnarray} f_1(x)&=&x\\ f_2(x)&=&5 \end{eqnarray}$$
a jen jsme dosadili do vzorce. To jest vypočítali jsme derivace funkce f1 a f2 a výsledky jsme sečetli. Identicky to funguje pro odečítání. Složitější příklad:
$$f(x)=x^3+x-8$$
Opět jen zderivujeme jednotlivé tři členy a necháme v součtu:
$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime+x^\prime-8^\prime=3x^2+1+0$$
Derivace součinu
Součin už se bohužel neřeší tak jednoduše jako obyčejné sčítání, na součin dvou funkcí už musíme použít mírně komplikovaný vzorec:
$$(f(x)\cdot g(x))^\prime=f^\prime(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^\prime (x)$$
Triviální funkce, která obsahuje násobení je například funkce
$$s(x)=5\cdot x^2$$
Ve vzorečku pro násobení máme dvě funkce, ty z této jedné funkce s(x) získáme takto: f(x) = 5 a g(x) = x2. Teď už jen lehce dosadíme:
$$s^\prime(x)=5^\prime\cdot x^2+5\cdot (x^2)^\prime=0\cdot x^2+5\cdot2x=10x$$
Vidíme, že pokud máme funkci ve tvaru
$$f(x)=a\cdot x^c,$$
pak dostáváme po zderivování
$$(a\cdot x^c)^\prime=a\cdot (x^c)^\prime=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$
Toto pravidlo můžeme ještě zobecnit a namísto mnohočlenu můžeme dosadit libovolnou funkci. Takže pro jakoukoliv funkci f(x) platí
$$(a\cdot f(x))^\prime=a\cdot f^\prime(x).$$
Takže pro příklad si zkusíme zderivovat tuto funkci:
$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$
Na začátku derivování nejdříve aplikujeme pravidlo součtu:
$$f^\prime(x)=(5x^3)^\prime-(7x^2)^\prime+10^\prime=$$
Výrazy v součinu rozepíšeme podle naposledy zmíněného vzorce:
$$=5(x^3)^\prime-7(x^2)^\prime+10^\prime=$$
Zderivujeme výrazy v závorce podle pravidla pro derivace xc.
$$=5\cdot3x^2-7\cdot2x+0=$$
A nakonec už jen vynásobíme koeficienty:
$$=15x^2-14x.$$
Derivace podílu
Derivace podílu je zase o trochu komplikovanější než derivace součinu. Vzoreček:
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime=\frac{f^\prime(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g^\prime(x)}{g^2(x)}$$
Ale jinak je postup analogický jako u součinu. Takže hned příklad:
$$\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)^\prime=$$
Čitatel zlomku představuje funkci f(x), jmenovatel funkci g(x). A teď už jen dosadíme do vzorce:
$$=\frac{(x^2+3x+1)^\prime(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1)^\prime}{(2x-1)^2}=$$
Ve jmenovateli máme umocnění jmenovatele na druhou a v čitateli máme rozepsaný zlomek podle vzorce. Nyní zderivujeme první a poslední závorku. Opět tam máme pravidlo součtu, to už přeskočím a napíši rovnou výsledek:
$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1)^2}=\ldots$$
Tento výraz ještě můžeme nějak zjednodušit, ale to už není v této kapitole podstatné.
Derivace elementárních funkcí
Teď si uvedeme, bez dalšího odvození, některé vzorce pro výpočet derivace u běžných funkcí.
Mocniny a logaritmy:
$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_ax)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln a};\quad a>0\wedge a\ne1\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$
Všimněte si, že derivace funkce ex je opět ex, to není překlep, ale milá vlastnost, které se stala základem mnoha a mnoha vtipů.
Goniometrické funkce:
$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\tan x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\mbox{cotan} x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x} \end{eqnarray}$$
Nějaký jednoduchý příklad:
$$(3\sin x + 2\ln x)^\prime=$$
Oba výrazy jsou v součtu, takže stačí, když sečteme derivace daných dvou výrazů. Každý výraz obsahuje na začátku konstantu, která násobí funkci za ní — víme, že v tuto chvíli stačí jen zderivovat funkci a konstantu neměnit. Uděláme to:
$$=3(\sin x)^\prime+2(\ln x)^\prime=$$
Toto už jsou tabulkové hodnoty:
$$=3\cos x+2\frac1x=3\cos x+\frac2x.$$
Derivace složené funkce
Z vlastností derivace a z její aplikace u vyšetřování průběhu funkce víme, že za jistých podmínek můžeme mít dvě funkce, které jsou derivovatelné a jejich složením opět získáme funkci, která je derivovatelná. Ukážeme si, jak spočítat derivace takové složené funkce.
Derivace složené funkce je asi nejtěžší pojem z těchto základních derivací. Funkce jako takové můžeme skládat. Co je složená funkce se můžete blíže dočíst v článcích Co je to funkce nebo Definiční obor funkce. Zhruba řečeno to znamená, že jako argument jedné funkce předáme jinou funkci. Symbolický zápis by vypadal takto h(g(x)). Konkrétní funkcí může být například
$$f(x)=\sin(2x).$$
Jaké dvě funkce tam jsou? Sinus a pak vnořená funkce 2x. Na tuto funkci f nemůžeme jen tak poštvat obecný vzorec na sin(x), protože ten počítá s tím, že v argumentu dostane x, ne 2x. Výpočet derivace složené funkce tedy probíhá takto:
$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$
To jest zderivujeme vnější funkci a necháme ji stejný argument a vynásobíme to zderivovanou vnitřní funkcí. V případě toho příkladu se sinem by platilo:
$$(\sin(2x))^\prime=\sin^\prime(2x)\cdot(2x)^\prime=$$
Ta čárka jen na sinem znamená, že derivujeme už pouze samotný sinus, nederivujeme celý výraz jako ve výraze na levé straně rovnice. Takže derivace sinu je cosinus, takže namísto sinu pouze napíšeme cosinus. A derivace 2x je 2:
$$=\cos(2x)\cdot2=2\cos(2x).$$
Další příklad, trošku složitější.
$$(\cos(\ln x^2))^\prime=$$
Tady máme o jednu vnořenou funkci více. Vnější funkce je cosinus, prostřední je logaritmus a úplně vnitřní je mocnina x2. Postupujeme ale opět podle vzorce. Rozepíšeme si to:
$$=\cos^\prime(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$
Zderivujeme pouze cosinus, argument cosinu necháme, jak je, tj. necháme tam celý logaritmus. Celý tento výraz pak ještě vynásobíme derivací argumentu, tj. derivací logaritmu. Zderivujeme cosinus a máme:
$$=-\sin(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$
Výraz vpravo se nezměnil, jen jsme zderivovali cosinus. Nyní se pustíme do derivace logaritmu. Opět je to složená funkce, takže rekurzivně aplikujeme vzorec na složenou funkci. Levý výraz už jen opíšeme:
$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\ln^\prime x^2\cdot(x^2)^\prime=$$
Zderivujeme logaritmus a argument mu necháme stejný, tj. x2. Ale celý výraz ještě vynásobíme derivací argumentu, tj. derivací právě x2. Derivace logaritmu je zlomek 1/x, kde za x dosadíme náš argument x2 a derivací x2 jsou 2x.
$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{1}{x^2}2x=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{2}{x}=-\frac{2\sin(\ln x^2)}{x}.$$