Binomická věta
Binomická věta je zobecněním klasických vzorců typu (a + b)2 za pomocí kombinačních technik.
Motivace
Jistě znáte vzorce pro výpočet (a + b)2 nebo (a + b)3:
$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray}$$
A přirozenou otázkou je, jestli nelze tyto vzorce zobecnit pro libovolné přirozené číslo n, tj. lze vypočítat (a + b)n?
Odvození
Samozřejmě to lze a slouží k tomu právě binomická věta. Zkusíme se podívat, jak by tento rozvoj pokračoval dále pro n = 4 a n = 5.
$$\begin{eqnarray} (a+b)^4 &=& a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\\ (a+b)^5&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \end{eqnarray}$$
Už byste měli vidět jistý vzor. Pokud máme výraz (a + b)n, tak na pravé straně vždy začínáme členem an. Druhý člen také obsahuje proměnnou a, ale exponent je o jedna nižší. Pro příklad: u rozkladu (a + b)4 máme na pravé straně v prvním členu a4 a ve druhém a3. Každý další člen obsahuje proměnnou a s o jedna nižším exponentem, než předchozí člen. Proměnná b naopak roste. Na začátku proměnnou b nemáme, respektive máme, ale s exponentem nula: b0 = 1. Ve druhém členu má pak b exponent jedna, pak dva atp.
Při tom všem platí jednoduché pravidlo, že součet exponentů musí být vždy roven n. Pokud vezmeme v úvahu poslední rozložení (a + b)5, tak například třetí člen je 10a3 · b2 a součet exponentů u proměnných a a b je právě 5.
Poslední věc je, jaké budou koeficienty (ta čísla před proměnnými) u každého členu. Určitě si všimnete, že ty koeficienty jsou symetrické: u (a + b)4 máme koeficienty 1,4,6,4,1, u (a + b)5 máme: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Připomínám, že a4 = 1 · a4, proto tam tu jedničku píši, i když ji explicitně neuvádím ve vzorcích. Další vztah si ukážeme na Pascalově trojúhelníku.
Pascalův trojúhelník
Pascalův trojúhelník je šikovná pomůcka při počítání rozvoje podle binomické věty. Pascalův trojúhelník je tvořen čísly a platí, že číslo, které se nachází pod nějakými jinými dvěma čísly, se rovná jejich součtu. Zní to krkolomně, ale ze samotného trojúhelníku to bude jasné:
Podívejte se například na číslo čtyři. Nad tímto číslem se nachází čísla 1 a 3. A součet 1+3 dává právě 4. Podobně pro ostatní čísla.
A jak Pascalova trojúhelníku využijeme? Když se podíváte na čísla na jednotlivých řádcích, tak zjistíte, že vám velmi připomínají koeficienty u výsledného binomického rozvoje. Například u (a + b)2 máme koeficienty 1,2,1, což je přesně druhý řádek. Pro (a + b)4 máme koeficienty 1,4,6,4,1, což je přesně čtvrtý řádek. Pokud potřebujeme vypočítat (a + b)n, tak se stačí podívat na n-tý řádek Pascalova trojúhelníku.
Definice binomické věty
Formálně binomická věta zní takto:
$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^k\qquad a,b\in\mathbb{R}; n\in\mathbb{N} $$
Sumu počítáme od nuly do n, včetně. Tedy výsledný počet sčítanců je n + 1. Ta věc v závorkách je kombinační číslo, což je věc z kombinatoriky a představuje počet různých kombinací, z kterých můžeme získat daný člen binomického rozvoje. Zbytek už jsou jen proměnné s patřičnými exponenty. Všimněte si, že součet exponentů se opravdu rovná n: n − k + k = n.
Příklady
Jednoduchý příklad: vypočtete pomocí binomické věty (a + 2b)4. Jako první se podíváme do Pascalova trojúhelníku na čtvrtý řádek. Ten nám říká, že koeficienty budou mít podobu: 1,4,6,4,1. Teď už zbývá jen postupně doplňovat exponenty. V prvním členu bude jen a4:
$$(a+2b)^4=a^4+\ldots$$
V druhém členu máme exponenty rozloženy do dvojice 3,1, tedy dostáváme a3(2b)1. umocnění na prvou nám s výrazem nic neudělá, takže můžeme napsat a32b. Koeficient u druhého členu je 4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+\ldots$$
Třetí člen bude mít exponenty 2,2. Tady trochu pozor, umocňujeme celé 2b, tedy takto: (2b)2, což se rovná: (2b)2 = 4b2. Dopíšeme do rozvoje s koeficientem 6:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+\ldots$$
Čtvrtý člen bude mít tvar a(2b)3. Po umocnění dostaneme a8b3. Dopíšeme s koeficientem 4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+\ldots$$
A poslední člen bude už jen (2b)4 = 16b4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+16b^4.$$
Teď už jen mírně poupravit. Ve členu 4a32b můžeme dát dvojku na začátek členu a vynásobit 2 · 4 = 8. Vznikne nám tak 8a3b. Pokud to tak uděláme i po zbytku, dostaneme výsledek:
$$(a+2b)^4=a^4+8a^3b+24a^2b^2+32ab^3+16b^4.$$
Všimněte si prosím, že v tuto chvíli už nesedí koeficienty s čísly v Pascalově trojúhelníku.